小学数学《数列求和》练习题（含答案）
【例1】 找找下面的数列有多少项？ （1）2、4、6、8、……、86、98、100 （2）1、3、5、7、……、87、89、91 （3）3、4、5、6、……、76、77、78 （4）4、7、10、13、……、40、43、46 （5）2、6、10、14、18、……、82、86
分析：（1）我们都知道：1、2、3、4、5、6、7、8、……、95、96、97、98、99、100 这个数列是100项，现在不妨这样去看：（1、2）、（3、4）、（5、6）、（7、8）、……、（95、96）、（97、98）、（99、100），让它们两两一结合，奇数在每一组的第1位，偶数在第2位，而且每组里偶数比奇数大，小朋友们一看就知道，共有100÷2=50组，每组把偶数找出来，那么原数列就有50项了。
（2）配组：（1、2）、（3、4）、（5、6）、（7、8）、……、（87、88）、（89、90）、（91、92），1—92有92项，每组2项，那么可以得到92÷2=46组，所以原数列有46项。
（3）连续的自然数列，3、4、5、6、7、8、9、10…… ，对应的是这个数列的第1、2、3、4、5、6、7、8、…… ，发现它的项数比对应数字小2，所以78是第76项，那么这个数列就有76项。对于连续的自然数列，它们的项数是：末项 — 首项 + 1 。
（4）配组：（4、5、6）、（7、8、9）、（10、11、12）、（13、14、15）、……、（46、47、48），注意等差是3 ，那么每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到48有48-4+1=45项，每组3个数，所以共45÷3=15组，原数列有15组。当然，我们还可以有其他的配组方法。
（5）22项．
对于一个等差数列的求和，在许多时候我们不知道的往往是这个数列的项数。这种找项数的方法在学生学习了求项数公式后，也许稍显麻烦，但它的思路很重要，对于以后学习数论知识有较多的帮助。希望教师能帮助孩子牢固掌握。
【例2】 计算下列各题：
（1）2＋4＋6＋…＋96＋98＋100 （2）2＋5+8+…＋23+26＋29
分析：（1）这是一个公差为2的等差数列，首项是2，末项是100，项数为50。 所以：2+4+6＋…+96＋98+100＝(2+100)×50÷2＝2550
（2）这是一个公差为3，首项为2，末项为29，项数是10的等差数列。 所以：2＋5＋8＋…+23+26＋29＝(2+29)×10÷2＝155
其实在这里，我们还有一个找项数的公式。那么让我们一起从等差数列的特性来找找吧！
【例3】 你能找出几个等差数列的特征？从你的结果中，你能找到等差数列求项数的公式么？
分析：我们都知道，所谓等差数列就是：从第二项开始，每一项与它前一项的差都相等，那么我们可以得到：
第2项=首项+公差 = 首项+公差×1
第3项=第2项+公差= (首项+公差)+公差=首项+公差×2 第4项=第3项+公差= (首项+公差×2)+公差=首项+公差×3 第5项=第4项+公差= (首项+公差×3)+公差=首项+公差×4 第6项=第5项+公差= (首项+公差×4)+公差=首项+公差×5 …… 第n项=首项+公差×（n-1） ……
末项=首项+公差×(项数—1) 末项—首项=公差×(项数—1) 项数=(末项—首项)÷公差+1
通过上面的分析，我们还可以发现： 第4项－第3项 =公差×1 第5项－第3项 =公差×2 第6项－第3项 =公差×3 第6项－第2项 =公差×4
第n项－第3项 =公差×（n-3） 第n项－第m项 =公差×（n－m） ，（n＞m）
由此，我们便得到了，等差数列的求项数公式和其它一些公式关系，大家不要死记硬背，一定要理解运用。
【例4】 找下列数列中的项：
（1）3、5、7、9、11、13、15、…… ，这个数列有多少项？它的第102项是多少？ （2）0、4、8、12、16、20、…… ，它的第43项是多少？
分析：（1）它是一个无限数列，所以项数有无限多项。 第n项=首项+公差×（n-1），所以，第102项=3+2×（102-1）= 205 ；
（2）第43项=0+4×（43-1）= 168 。
【例5】 （1）已知等差数列2、5、8、11、14 … ，问47是其中第几项？
（2）已知等差数列9、13、17、21、25、 … ，问93是其中第几项？
分析：（1）首项=2 ，公差=3 ，我们可以这样看：2、5、8、11、14 … 、47 ， 那么这个数列有：n=（47-2）÷3+1=16 ，（熟练后，此步可省略），即47是第16项 。 其实求项数公式，也就是求第几项的公式。
（2）n=（93-9）÷4+1=22 。
【例6】 （1）如果一等差数列的第4项为21，第6项为33，求它的第8项. （2）如果一等差数列的第3项为16，第11项为72，求它的第6项.
分析：要求第8项，必须知道首项和公差。
第6项－第4项=（6－4）×公差 ，所以 ，公差= 6 ； 第4项=首项+3×公差 ，21=首项+3×6 ，所以，首项=3 ； 第8项=首项+7×公差=45 。
（2）公差=7，首项=2，第6项=37。
【例7】 计算各数列的和： （1）3＋4＋5＋…＋99＋100 （2）4＋8＋12＋…＋32＋36 （3）65＋63＋61＋…＋5＋3+1
分析：（1）项数：（100－3）÷1＋1=98 ； 和：（3+100）×98÷2=5047 ；
（2）项数：（36－4）÷4＋1=9 ；和：（4+36）×9÷2=20×9=1800 ； （3）项数：（65－1）÷2＋1=33 ；和：（1+65）×33÷2=33×33=1089 。
题目做完以后，我们再来分析一下，（2）题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于20×9，（3）题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33，而和恰等于33×33，其实，这并不是偶然的现象，关于中项有如下定理：
对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首相与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数。
这个定理称为中项定理.
【例8】 建筑工地有一批砖，码成如右图形状，最上层两块砖，第2层6块砖，第3层10块砖…，依次每层都比其上面一层多4块砖，已知最下层2106块砖，问中间一层多少块砖？这堆砖共有多少块？
分析：如果我们把每层砖的块数依次记下来，2，6，10，14，… 容易知道， 是一个等差数列。2106是第n=（2106-2）÷4+1=527层，中间一层是第
（527+1）÷2=264层，那么中间一层有：2+（264-1）×4=1054块，这堆砖共有：1054×527=555458（块）。
【例9】 （1+3+5+……+1997+1999）一（2+4+6+……1996+1998）
分析：法1：第一个数列的项数1000，第二个数列的项数为999， 利用求和公式得：（1+1999）×1000÷2-（2+1998）×999÷2=1000 。
方法2： 第一个括号内共有1000个数，第二个括号内有999个数。把1除外，第一个括号内的各数依次比第二个括号里相应的数大1，因此可简捷求和。 原式=1+(3-2)+(5-4)+……+(1999-1998)
=l+1+1+……+1 (共1000个1)=1000
【例10】 计算4000-5-10-15-…-95-100。
分析：通过观察可知，题目中的减数可以组成等差数列，所以，可先求这些减数的和，再从被减数中减去这个和。
4000-5-10-15-…-95-100＝4000-(5+10+15＋…＋95+100)＝4000-(5+100)×(20÷2)＝4000-1050＝2950
小结：当一个数连续减去几个数，这些减数能组成等差数列时，可以先求这些减数的和，再从被减数中减去这个和。
【例11】 把自然数按下面形式排列，它的第一行是1、2、4、7、11……那么第一行的第100个数是几? 1，2，4，7，1l，…… 3，5，8，12，…… 6，9，13， …… 10，14，…… 15， …… ……
分析：观察上面数的排列规律，从右上方到左下方看斜行，依次是1，(2，3)，(4，5，6)，(7，8，9，10)，……各斜行数的个数顺次是1，2，3，4，……所以第一行的第100个数，正好是第100个斜行的第一个数。可见只要求出前99个斜行共有多少个数即能使问题解决。 (1+2+3+……+98+99)+1 =(1+99)×99÷2+1=4951 。
【附1】 求100以内除以3余2的所有数的和。
分析：100以内除以3余2的数为2、5、8、11、……98公差为3的等差数列，首先求出一共有多少项，（98－2）÷3+1=33 ，再利用公式求和 (2+98)× 33÷2=1650 。
那么，你能找找以下数列的规律么？
（1）除以3余1的所有数。 （2）整除3所有数。
（3）除以5余2的所有数。 （4）除以5余1的所有数。 （5）除以6余2的所有数。 说说其中的规律！
【附2】 100个连续自然数（按从小到大的顺序排列）的和是8450，取出其中第1个，第3个…第99个，再把剩下的50个数相加，得多少？
分析：法1：要求和，我们可以先把这50个数算出来.
100个连续自然数构成等差数列，且和为8450，则：首项+末项=8450×2÷100=169，又因为末项比首项大99，所以，首项=（169-99）÷2=35.因此，剩下的50个数为：36，38，40，42，44，46…134.这些数构成等差数列，和为（36+134）×50÷2=4250.
法2：我们考虑这100个自然数分成的两个数列，这两个数列有相同的公差，相同的项数，且剩下的数组成的数列比取走的数组成的数列的相应项总大1，因此，剩下的数的总和比取走的数的总和大50，又因为它们相加的和为8450.所以，剩下的数的总和为（8450+50）÷2=4250.
【附3】把210拆成7个自然数的和，使这7个数从小到大排成一行后，相邻两个数的差都是5，那么，第1个数与第6个数分别是多少？
分析：由题可知：由210拆成的7个数必构成等差数列，则中间一个数为210÷7=30，所以，这7个数分别是15、20、25、30、35、40、45.即第1个数是15，第6个数是40.
1．求首项是5，末项是93，公差是4的等差数列的和。 解答：（93－5）÷4+1=23 ， （93+5）×23÷2=1127
2．求首项是13，公差是5的等差数列的前30项的和。 解答：13+5×（30－1）=158 ， （13+158）×30÷2=2565
3．某剧院有20排座位，后一排都比前一排多2个座位，最后一排有70个座位，这个剧院一共有多少个座位？
解答：1020个座。
4．某建筑工地堆放着一些钢管，最上面一层有3根，最下面一层有29根，而且下面的每一层比上面的一层多2根，这些钢管一共多少根？ 解答：224根。
5．巧算下题：5000-2-4-6-…-98-100
小学数学《数列求和》练习题(含答案)(1)
