32.分式的概念和性质（提高）知识讲解

分式的概念和性质（提高）

【学习目标】

1. 理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件.

2．掌握分式的基本性质，并能利用分式的基本性质将分式恒等变形，进而进行条件计算. 【要点梳理】

要点一、分式的概念

一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子

A叫做分式.其中AB叫做分子，B叫做分母.

要点诠释：（1）分式的形式和分数类似，但它们是有区别的.分数是整式，不是分式，

分式是两个整式相除的商式.分式的分母中含有字母；分数的分子、分母中都不含字母.

（2）分式与分数是相互联系的：由于分式中的字母可以表示不同的数，所以

分式比分数更具有一般性；分数是分式中字母取特定值后的特殊情况.

（3）分母中的“字母”是表示不同数的“字母”，但π表示圆周率，是一个

常数，不是字母，如

a是整式而不能当作分式. ? （4）分母中含有字母是分式的一个重要标志，判断一个代数式是否是分式

x2y不能先化简，如是分式，与xy有区别，xy是整式，即只看形式，

x不能看化简的结果.

要点二、分式有意义，无意义或等于零的条件 1.分式有意义的条件：分母不等于零.

2.分式无意义的条件：分母等于零.

3.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零. 要点诠释：（1）分式有无意义与分母有关但与分子无关，分式要明确其是否有意义，就

必须分析、讨论分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值为零.

（2）本章中如果没有特殊说明，所遇到的分式都是有意义的，也就是说分式

中分母的值不等于零.

（3）必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值. 要点三、分式的基本性质

分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：

AA?MAA?M（其中M是不等于零的整式）. ?，?BB?MBB?M要点诠释：（1）基本性质中的A、B、M表示的是整式.其中B≠0是已知条件中隐含着

的条件，一般在解题过程中不另强调；M≠0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调M≠0这个前提条件. （2）在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式

中字母的取值范围有可能发生变化.例如：

，在变形后，字母x的

取值范围变大了.

要点四、分式的变号法则

对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数.

要点诠释：根据分式的基本性质有

?bb?bb.根据有理数除法的符号法则有?，??aaa?a?bbbaa???.分式与?互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着a?aabb重要的作用.

要点五、分式的约分，最简分式

与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式.

要点诠释：（1）约分的实质是将一个分式化成最简分式，即约分后，分式的分子与分

母再没有公因式.

（2）约分的关键是确定分式的分子与分母的公因式.分子、分母的公因式

是分子、分母的系数的最大公约数与相同因式最低次幂的积；当分式的分子、分母中含有多项式时，要先将其分解因式，使之转化为分子与分母是不能再分解的因式积的形式，然后再进行约分.

要点六、分式的通分

与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分.

要点诠释：（1）通分的关键是确定各分式的最简公分母：一般取各分母所有因式的最高

次幂的积作为公分母.

（2）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数与相

同字母的最高次幂的乘积；如果各分母都是多项式，就要先把它们分解因式，然后再找最简公分母.

（3）约分和通分恰好是相反的两种变形，约分是对一个分式而言，而通分则

是针对多个分式而言. 【典型例题】

类型一、分式的概念

【高清课堂403986 分式的概念和性质 例1】

1、指出下列各式中的整式与分式：

1，xy2x213a?bx22，，，2，?，?3?2y，，．

4x?yx2?x?13【思路点拨】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【答案与解析】

y2a?bx22解：整式有：，，?，?3?2y，；

42?3x2131分式有：，，2，．

xxx?yx?1【总结升华】判断分式的依据是看分母中是否含有字母．此题判断容易出错的地方有两处：一个是把π也看作字母来判断，没有弄清π是一个常数；另一个就是将分式化简成整式后

x2再判断，如x和，前一个是整式，后一个是分式，它们表示的意义和取值范围是不相同

x的．

类型二、分式有意义，分式值为0

【高清课堂403986 分式的概念和性质 例2】

2、 当x取什么数时，下列分式有意义？当x取什么数时，下列分式的值为零？

（1）

x2x?10x?5；（2）；（3）． 22x?1x?5x22【答案与解析】

解：（1）当x?1?0，即x??1时，分式有意义．

∵ x为非负数，不可能等于－1， ∴ 对于任意实数x，分式都有意义； 当x?0时，分式的值为零．

（2）当x?0即x?0时，分式有意义；

22?x?0,当?即x?5时，分式的值为零

x?5?0,?（3）当x?5?0，即x?5时，分式有意义； 当??x?5?0,①?2x?10?0②时，分式的值为零，

由①得x?5时，由②得x?5，互相矛盾． ∴ 不论x取什么值，分式

2x?10的值都不等于零． x?5【总结升华】分母不为零时，分式有意义；分子的值为零，而分母的值不为零时，分式的值为零． 举一反三： 【变式1】若分式

x?2x2?5x?6的值为0，则x的值为___________________.

【答案】－2； 提示：由题意??|x|?2?02?x?5x?6?0，???|x|?2?0，所以x??2.

???x?3??x?2??0【变式2】当x取何值时，分式【答案】

x?2的值恒为负数？ 2x?6?x?2?0,?x?2?0,解： 由题意可知?或?

2x?6?0,2x?6?0.??解不等式组??x?2?0,该不等式组无解．

?2x?6?0,?x?2?0,解不等式组?得?3?x?2．

2x?6?0.?所以当?3?x?2时，分式类型三、分式的基本性质

【高清课堂403986 分式的概念和性质 例4】

x?2的值恒为负数． 2x?63、不改变分式的值，使下列分式的分子与

分母的最高次项的系数是正数.