专题能力训练3 平面向量与复数
一、能力突破训练
1.(2017天津河西区高三质量调查)若复数z满足(z-3)·(2-i)=5(i为虚数单位),则z的共轭复数为( )
A.2+i B.2-i C.5+i D.5-i 答案：D 2.如图所示的方格纸中有定点O,P,Q,E,F,G,H,则+=( )
A. B. C. D. 答案：C 解析：设a=+,以OP,OQ为邻边作平行四边形,则夹在OP,OQ之间的对角线对应的向量即为向量a=+.因为a和长度相等,方向相同,所以a=,故选C. 3.设a,b是两个非零向量,下列结论正确的为( ) A.若|a+b|=|a|-|b|,则a⊥b B.若a⊥b,则|a+b|=|a|-|b|
C.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数λ,使得b=λa D.若存在实数λ,使得b=λa,则|a+b|=|a|-|b| 答案：C 解析：设向量a与b的夹角为θ.对于A,可得cos θ=-1,因此a⊥b不成立;对于B,满足a⊥b时|a+b|=|a|-|b|不成立;对于C,可得cos θ=-1,因此成立,而D显然不一定成立. 4.在复平面内,若复数z的对应点与的对应点关于虚轴对称,则z=( ) A.2-i B.-2-i C.2+i D.-2+i 答案：D 解析：===2+i所对应的点为(2,1),关于虚轴对称的点为(-2,1),故z=-2+i. 5.已知向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a=( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 答案：C 解析：∵2a+b=(1,0),
又a=(1,-1),
∴(2a+b)·a=1+0=1.
6.下面是关于复数z=的四个命题: p1:|z|=2,p2:z2=2i,
p3:z的共轭复数为1+i,p4:z的虚部为-1, 其中的真命题为( ) A.p2,p3 B.p1,p2
C.p2,p4 D.p3,p4 答案：C 222
解析：z==-1-i,故|z|=,p1错误;z=(-1-i)=(1+i)=2i,p2正确;z的共轭复数为-1+i,p3错误;p4正确.
7.已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC=60°,则·=( )
22
A.-a B.-a 22C.a D.a 答案：D 解析：如图,
设=a,=b.
22222
则·=(+)·=(a+b)·a=a+a·b=a+a·a·cos 60°=a+a=a. 8.设向量a=(x,x+1),b=(1,2),且a⊥b,则x= . 答案：-
解析：∵a⊥b,∴a·b=x+2(x+1)=0,
解得x=-.
9.(2017山东,文11)已知向量a=(2,6),b=(-1,λ).若a∥b,则λ= . 答案：-3
解析：∵a∥b,∴2λ-6×(-1)=0,∴λ=-3.
10.在△ABC中,若·=·=4,则边AB的长度为 . 答案：2 2
解析：由·=4,·=4,得·+·=8,于是·(+)=8,即·=8,故||=8,得||=2.
11.已知a=(cos θ,sin θ),b=(,-1),f(θ)=a·b,则f(θ)的最大值为 . 答案：2 解析：f(θ)=a·b=cos θ-sin θ
=2=2cos,
故当θ=2kπ-(k∈Z)时,f(θ)max=2.
22
12.过点P(1,)作圆x+y=1的两条切线,切点分别为A,B,则·= . 答案： 解析：
由题意可作右图,
∵OA=1,AP=, 又PA=PB,∴PB=. ∴∠APO=30°. ∴∠APB=60°.
∴·=||||·cos 60°=××=.
13.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知向量=(2,2),=(4,1),在x轴上取一点P,使·有最小值,则点P的坐标是 . 答案：(3,0) 解析：设点P的坐标为(x,0),则=(x-2,-2),=(x-4,-1),
22
·=(x-2)(x-4)+(-2)×(-1)=x-6x+10=(x-3)+1. 当x=3时,·有最小值1.此时点P的坐标为(3,0).
14.设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,|AD|=|AB|,|BE|=|BC|.若=λ1+λ2(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为 . 答案： 解析：由题意=+=+=+(+)=-+,故λ1=-,λ2=,即λ1+λ2=.
二、思维提升训练
15.若z=4+3i,则=( ) A.1 B.-1 C.+i D.-i 答案：D 解析：因为z=4+3i,所以它的模为|z|=|4+3i|==5,共轭复数为=4-3i.故=-i,选D. 16.
(2017浙江,10)如图,已知平面四边形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于点O,记I1=·,I2=·,I3=·,则( ) A.I1
所以I2=·>0,I1=·<0,I3=·<0,且|I1|<|I3|, 所以I3 17.已知两点M(-3,0),N(3,0),点P为坐标平面内一动点,且||·||+·=0,则动点P(x,y)到点M(-3,0)的距离d的最小值为( ) A.2 B.3 C.4 D.6 答案：B 解析：因为M(-3,0),N(3,0),所以=(6,0),||=6,=(x+3,y),=(x-3,y).由||·||+·=0,得 22 6+6(x-3)=0,化简得y=-12x,所以点M是抛物线y=-12x的焦点,所以点P到M的距离的最小值就是原点到M(-3,0)的距离,所以dmin=3. 18.(2017天津,文9)已知a∈R,i为虚数单位,若为实数,则a的值为 . 答案：-2 解析：∵==-i为实数,∴-=0,即a=-2. 19.已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=ta+(1-t)b.若b·c=0,则t= . 答案：2 2 解析：∵c=ta+(1-t)b,∴b·c=ta·b+(1-t)|b|. 又|a|=|b|=1,且a与b的夹角为60°,b·c=0, ∴0=t|a||b|cos 60°+(1-t),0=t+1-t. ∴t=2. 20.在任意四边形ABCD中,E,F分别是AD,BC的中点,若=λ+μ,则λ+μ= . 答案：1 解析：如图,因为E,F分别是AD与BC的中点,所以+=0,+=0. 又因为+++=0,所以=++.① 同理=++.② 由①+②得,2=++(+)+(+)=+, 所以=(+).所以λ=,μ=. 所以λ+μ=1. 21.已知a,b∈R,i是虚数单位.若(a+i)(1+i)=bi,则a+bi= . 答案：1+2i 解析：因为(a+i)(1+i)=a-1+(a+1)i=bi,a,b∈R,所以解得故a+bi=1+2i.
2024年高考数学二轮复习专题能力训练3平面向量与复数文
