管理知识数学I作业（习题二）
1．用随机变量来描画掷一枚骰子的实验结果，并写出它的散布律。
解：设随机变量X为掷一枚骰子出现的结果，那么X=n (n=1,2,…,6),即X仅取1~6六个自然数值，P(X=n)=1/6，即出现六种状况的概率均为1/6。散布律为 X 1 2 3 4 5 6 p 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
2．某实验成功的概率为p，X代表第二次成功之前实验失败的次数，写出X的散布律。 答：散布律为 X 0 1 2 … n P p2 p2 (1-p) p2 (1-p)2 … p2 (1-p)n
3．下表能否为某个随机变量的散布律？为什么？ X 1 2 3 p 0.15 0.45 0.6 答：不能表示为某个随机变量的散布律。由于三个概率之和大于1。 4．产品有一、二、三等品和废品四种，一、二、三等品率和废品率区分为55%、25%、19%、
1%，任取一件产品检验其质量等级，用随机变量X表示检验结果，并写出其散布律和散布函数。
解：设随机变量X取1，2，3，4四个值区分表示出现一、二、三等品和废品四种状况，那
么散布律为 X 1 2 3 4 p 散布函数为 0.55 0.25 0.19 0.01 ?0,x?1?0.55,1?x?2??F(x)??0.8,2?x?3
?0.99,3?x?4???1,4?xx<2表示出现二等品以上〔不含二等品〕产品，x<3表示出现三等品以上〔不含三等
品〕产品，x<4表示出现次品以上〔不含次品〕产品。
5．设某种实验成功的概率为0.7，现独立地停止10次这样的实验。问能否可以用一个听从
二项散布的随机变量来描画这10次实验中成功的次数？如何描画？请写出它的散布以及散布的数学希冀和规范差。
答：可以描画。即设随机变量X为实验成功的次数，
?C10?0.7?0.3?0.3C10(7那么P(X?n)?C10p(1?p)3) (n=1,2,…,10)
E(X)=Np=10?0.7=7
D(X)=Np(1-p)=10?0.7?0.3=2.1
6．假设你是一个投资咨询公司的雇员，你通知你的客户，依据历史数据剖析结果，企业A
的平均投资报答比企业B的高，但是其规范差也比企业 B的大。你应该如何回答客户提出的如下效果：
（1） 能否意味着企业A的投资报答一定会比企业B的高？为什么？ （2） 能否意味着客户应该为企业A而不是企业B投资？为什么？ 答：〔1〕从临时投资来讲企业A一定比企业B的投资报答高。由于企业A的平均投资报答
nn10?nnn10?n10nn比B的平均投资报答大。但短期投资需求比拟两者的变化状况和变化及平均值的综合比拟。 〔2〕不一定。假设企业A的平均投资报答与规范差的差大于企业B的平均投资报答与规范差的差，那么可投资企业A。假设两企业的平均投资报答比拟接近，那么需求比拟两者之间的变异系数，选择变异系数较小的企业投资。
7．某公司估量在一定时间内完成某项义务的概率如下： 1 2 3 4 5 天数 0.05 0.20 0.35 0.30 0.10 概率 〔1〕求该义务能在3天〔包括3天〕之内完成的概率； 〔2〕求完成该义务的希冀天数；
〔3〕该义务的费用由两局部组成——20,000元的固定费用加每天2,000元，求整个项目费用的希冀值；
〔4〕求完成天数的规范差。 答：〔1〕P(天数?3)=0.05+0.20+0.35=0.6
〔2〕E(天数)=1?0.05+2?0.20+3?0.35+4?0.30+5?0.10=3.2 〔3〕费用=20000+3.2?2000=26400元
〔4〕D(天数)=E(X2)-(E(X))2=12?0.05+22?0.2+32?0.35+42?0.3+52?0.1-3.22=1.06 规范差=1.029563
28．求4中随机变量X的希冀和方差，以及E(X)。 解：
E(X)=1?0.55+2?0.25+3?0.19+4?0.01=1.66 E(X2)= 12?0.55+22?0.25+32?0.19+42?0.01=3.42 D(X)= E(X2)-(E(X))2=3.42-1.662=0.6644
9．设随机变量X的概率密度函数为
?e?x,x?0 f(x)???0,x?0?2X求〔1〕Y?2X，〔2〕Y?e的数学希冀。
解：
????（1） E(Y)=E(2X)=2E(X)=2
?????x f(x)dx=2?xe?xdx=2(-e?x-xe?x)
0?????2x?x??0=2 =13
（2） E(Y)=E(e?2x)=
???e?2xf(x)=?e0?x3)edx=-?e?3xdx=-13(e??00
10． 一工厂消费的某种设备的寿命X〔以年计〕听从指数散布，概率密度为
1??e?x4,x?0 f(x)??4??0,x?0工厂规则，出售的设备假定在售出一年之内损坏可予以互换。假定工厂售出一台设备赢
利100元，互换一台设备厂方需破费300元，试求厂方出售一台设备净赢利的数学希冀。 解：依据题意，设随机变量X赢利时取值100，盈余时取值-200，那么赢利的数学希冀为
??1????E(X)=100
=300
1???f(x)dx-200?f(x)dx=100?f(x)dx-200(1-?f(x)dx)
??11?1f(x)dx-200=300e?1/4-200=33.6 (元)
11．设X与Y为随机变量，E(X)?3，E(Y)??2，D(X)?9，D(Y)?4。在以下状
况下，求E(3X?Y)和D(3X?Y)： 〔1〕Cov(X,Y)?1； 〔2〕Cov(X,Y)?0；
〔3〕Cov(X,Y)??1。 解：
E(3X-Y)=E(3X)-E(Y)=3E(X)-E(Y)=9+2=11 与协方差有关。
?79,Cov(X,Y)?1? D(3X-Y)=9D(X)-6Cov(X,Y)+D(Y)=81-6Cov(X,Y)+4=?85,Cov(X,Y)?0
??91,Cov(X,Y)??112．查表求：z0.05，z0.025，z0.975，z0.9。
答：
查表，1-0.05=0.95 ?0(1.645)?0.95 z0.05=1.645
z0.025=1.96 z0.975=-1.96 z0.9=-1.285
13．某零件的寿命听从均值为1200小时，规范差为50小时的正态散布。随机地抽取一只零
件，试求：
（1） 它的寿命不低于1300小时的概率；
（2） 它的寿命在1100小时和1300小时之间的概率； （3） 它的寿命不低于多少小时的概率为95%？ 解：
?1200)?1??0(2)?0.02275 〔1〕F(X?1300)?1??(1300)?1??0(130050〔2〕F(1100?X?1300)??(1300)??(1100)??0(2)??0(?2)?2?0(2)?1?0.9545 〔3〕zx0?0.95 查表得?0(1.645)?0.95 ?1.645?x0?x?120050 x=1118
即寿命不低于1118小时的概率为95%。 14． 一工厂消费的电子管寿命X〔以小时计算〕听从希冀值为??160的正态散布，假定要
120?X?200??0.80，允许规范差?最大为多少？ 求：P?解：
?160?160P{120?X?200}?P(X?200)?P(X?120)??0(200?)??0(120?)?4040??0(40?)??0(?)?2?0(?)?1?0.80
?0(40?)?0.90
40??1.28 ??31.25 即允许的规范差最大为31.25。
管理知识数学I作业(习题二)
