第1讲 直线与圆 [考情考向·高考导航]
对于直线的考查，主要是求直线的方程；两条直线平行与垂直的判定；两条直线的交点和距离等问题．一般以选择题、填空题的形式考查．对于圆的考查，主要是结合直线的方程，用几何法或待定系数法确定圆的标准方程；对于直线与圆、圆与圆的位置关系等问题，含参数问题为命题热点，一般以选择题、填空题的形式考查，难度不大，涉及圆的解答题有逐渐强化的趋势．
[真题体验]
1．(2024·全国Ⅲ卷)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2
＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是( )
A．[2,6] C．[2，32]
B．[4,8] D．[22，32]
|2＋0＋2|
解析：A [由已知A(－2,0)，B(0，－2)．圆心(2,0)到直线x＋y＋2＝0的距离为d＝2＝22，又圆的半径为2.∴点P到直线x＋y＋2＝0的距离的最小值为2，最大值为32，又11
|AB|＝22.∴△ABP面积的最小值为Smin＝×22×2＝2，最大值为Smax＝×22×32＝
226.]
2．(2024·北京卷)在平面直角坐标系中，记d为点P(cos θ，sin θ)到直线x－my－2＝0的距离．当θ，m变化时，d的最大值为( )
A．1 C．3
解析：C [本题考查直线与圆的位置关系．
B．2 D．4
点P(cos θ，sin θ)是单位圆x2＋y2＝1上的点，直线x－my－2＝0过定点(2,0)，当直线与
圆相离时，d可取到最大值，设圆心到直线的距离为d0，d0＝可知，当m＝0时，dmax＝3，故选C.]
22
，d＝d＋1，0＋1＝1＋m21＋m2
3．(2024·天津卷)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为________． 解析：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 圆经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)，则： F＝0，??
?1＋1＋D＋E＋F＝0，??4＋0＋2D＋F＝0，
D＝－2，??
解得?E＝0，
??F＝0，
则圆的方程为x2＋y2－2x＝0. 答案：x2＋y2－2x＝0
4．(2024·全国Ⅰ卷)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B两点，则|AB|＝________. 解析：圆方程可化为x2＋(y＋1)2＝4，∴圆心为(0，－1)，半径r＝2，圆心到直线x－y＋1＝0的距离d＝2
＝2，∴|AB|＝222－d2＝24－2＝22. 2
答案：22
[主干整合]
1．两条直线平行与垂直的判定
若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2?k1＝k2，l1⊥l2?k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．
2．两个距离公式
(1)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝|Ax0＋By0＋C|
(2)点(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝. A2＋B23．圆的方程
(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，圆心为(a，b)，半径为r.
DE
－，－?，半径为(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，圆心为?2??2D2＋E2－4F
r＝. 2
4．直线与圆的位置关系的判定
(1)几何法：把圆心到直线的距离d和半径r的大小加以比较：d＜r?相交；d＝r?相切；d＞r?相离．
(2)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系：Δ＞0?相交；Δ＝0?相切；Δ＜0?相离．
|C1－C2|
. A2＋B2
热点一 直线的方程及其应用
[例1] (1)(2024·大连模拟)“a＝2”是“直线ax＋y－2＝0与直线2x＋(a－1)y＋4＝0平行”的( )
A．充要条件 C．必要不充分条件
B．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] A [由ax＋y－2＝0与直线2x＋(a－1)y＋4＝0平行，得a(a－1)＝2，∴a＝－1，a＝2.经检验当a＝－1时，两直线重合(舍去)．∴“a＝2”是“直线ax＋y－2＝0与直线2x＋(a－1)y＋4＝0平行”的充要条件．]
(2)(2024·厦门模拟)过直线l1：x－2y＋3＝0与直线l2：2x＋3y－8＝0的交点，且到点P(0,4)的距离为2的直线方程为________________．
???x－2y＋3＝0，?x＝1，[解析] 由?得?所以l1与l2的交点为(1,2)，当所求直线的斜率不
??2x＋3y－8＝0，y＝2.??
存在时，所求直线为x＝1，显然不符合题意．
故设所求直线的方程为y－2＝k(x－1)， 即kx－y＋2－k＝0，
|－2－k|4
因为P(0,4)到所求直线的距离为2，所以2＝，所以k＝0或k＝. 31＋k2所以所求直线的方程为y＝2或4x－3y＋2＝0. [答案] y＝2或4x－3y＋2＝0
(3)三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i＝1,2,3.
①记Qi为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是________． ②记pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3中最大的是________．
[答案] ①Q1 ②p2
求解直线方程应注意的问题
(1)求解两条直线平行的问题时，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的情况．
(2)要注意几种直线方程的局限性．点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直．而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线．
(3)求直线方程要考虑直线的斜率是否存在．
(2024·宁德模拟)过点M(0,1)作直线，使它被两条直线l1：x－3y＋10＝0，l2：2x＋y－8＝0所截得的线段恰好被M所平分，则此直线方程为____________．
10
0，?，(0,8)，解析：过点M且与x轴垂直的直线是x＝0，它和直线l1，l2的交点分别为?3??显然不符合题意，故可设所求直线方程为y＝kx＋1，其图象与直线l1，l2分别交于A，B两点，
??yA＝kxA＋1，
则有①?
?xA－3yA＋10＝0，?
??yB＝kxB＋1，②? ??2xB＋yB－8＝0.
77由①解得xA＝，由②解得xB＝.
3k－1k＋2因为点M平分线段AB，所以xA＋xB＝2xM，
即
771＋＝0，解得k＝－.
43k－1k＋2
1
故所求的直线方程为y＝－x＋1，即x＋4y－4＝0.
4答案：x＋4y－4＝0
2024新高考数学二轮教师用书：专题五第1讲 直线与圆
