第二章
2-3 在t=1时，ξ(t)的数学期望
E?(1)?E(2cos(2???))t?111??2E(cos(2???))?2E(cos?)?2(cos0?cos)?1
222在t1=0，t2=1时，ξ(t)的自相关函数
11?R?(0,1)?E[?(0)?(1)]?E[2cos??2cos(2???)]?E[4cos2?]?4(cos20?cos2)?22222-4 由题意可知，x(t)是平稳随即过程，则
E[y(t)]?E[x(t)?x(t?T)]?E[x(t)]?E[x(t?T)]?a?a?0
Ry(t,t??)?E[y(t)y(t??)] ?E{[x(t)?x(t?T)][x(t??)?x(t???T)]} ?E[x(t)x(t??)?x(t)x(t???T)?x(t?T)x(t??)?x(t?T)x(t???T)]
?Rx(?)?Rx(??T)?Rx(??T)?Rx(?) ?2Rx(?)?Rx(??T)?Rx(??T)?Ry(?)可见，y(t)的均值与时间无关，自相关函数只与时间间隔τ有关，所以y(t)是平稳随机过程。 2-5解（1）
因为
和
相互独立，所以有
又因
故
（2） 因为
和
服从高斯分布，
是
和
的线性组合，所以
也服从高斯分布，
，方差
，所以有
其一维概率密度函数
（3）
因为故
2-7 （1）欲证随机过程z(t)广义平稳，只需验证z(t)的数学期望与时间无关，z(t)的自相关函数仅与时间间隔τ有关即可。由题意可知，m(t)的数学期望为常数；
f(?)?1,(0???2?)，则 2?2?E[z(t)]?E[m(t)cos(?0t??)]?E[m(t)]?E[cos(?0t??)] (m(t)与?独立) ?E[m(t)]??cos(?0t??)01d??02?
Rz(t1,t2)?E[z(t1)z(t2)]?E[m(t1)cos(?0t1??)m(t2)cos(?0t2??)] ?E[m(t1)m(t2)]E[cos(?0t1??)cos(?0t2??)]11 ?Rm(?)E{cos[2???0(t1?t2)]?cos?0(t1?t2)}
2211 ?Rm(?){E[cos[2???0(t1?t2)]]?E[cos?0(t1?t2)]}2211 ?Rm(?)[0?cos?0(t1?t2)] ?Rm(?)cos?0??Rz(?)22可见，z(t)的均值与t无关，自相关函数只与时间间隔τ有关，故z(t)广义平稳。
?1?2(1??)cos?0??1?1（2）Rz(?)?Rm(?)cos?0???(1??)cos?0?2?20,????1???00???1，如下图2-7所示 其它?图2-7
（3）因为z(t)广义平稳，所以其功率谱密度Pz(?)?Rz(?)。由上图2-7可见，Rz(?)的波形可视为一余弦函数与一三角波的乘积，因此
Pz(?)?1S?2?11????0?????0?????1?????????0???????0???Sa2??1???Sa2???Sa2???2?2?2?4??2??2??????Pz(?)d??11 或 S?Rz(0)? 22是平稳随机过程，故有
2-8解 （1）由题意知，即
（2）
的图形如图2-8-1所示。
图2-8-1
的图形如图2-8-2所示。
图2-8-2
2-9 （1）方法一：高斯白噪声的功率谱密度Pn(?)?n0，则滤波器输出噪声的功率谱密度 2?n0n02?，?c??B????c??BP0(?)??H(?)??2
2?其他?0，根据P0(?)?R0(?)，则输出噪声的自相关函数
1?1j??R0(?)?P(?)ed??02????2? ?n0BSa??B??cos?c?1平均功率 N0?Ro(0)?n0B 或 N0?2?方法二：高斯白噪声的自相关函数 Rn(?)?n0j??1ed?????c??B22???c??Bn0j????c??B2ed??c??B????P0(?)d??n0B
n0???? 2根据滤波器的图形，对其求傅立叶反变换，得h????2BSa??B??cos?c? 所以滤波器输出噪声的自相关函数R0(?)?Rn(?)?h(?)?n0BSa??B??cos?c? （2）高斯过程通过线性系统后的输出仍为高斯过程，且有
E??o?t???E??i?t???H(0)?0 D??o?t???R(0)?R(?)?n0B
因此，输出噪声的一维概率密度函数
f(x)??x2?exp???
2nB2?n0B0??1低通滤波器的传输特性
2-10解
根据式（2-52）可得输出功率谱密度为
因为
并利用
故输出过程的自相关函数为
2-13 解 互相关函数为
因为
平稳，则
故
互功率谱密度为
令
，则
故
现代通信原理与技术课后答案完整版-张辉第二章
