高中数学第一章三角函数1.6三角函数模型的简单应用练
习新人教A版必修41106132
[A 基础达标]
1.如图，从某点给单摆一个作用力后，单摆开始来回摆动，它离开平衡位置O的距离s(单位：cm)和时间t(单位：s)的函数解析式为s＝π??5sin?2πt＋?，则单摆摆动时，从最右边到最左边的时间为( ) 3??
A．2 s 1
C. s 2
B．1 s 1D. s 4
2π
解析：选C.由题意，知周期T＝＝1(s)．单摆从最右边到最左边的时间是半个周期，
2π1为 s. 2
2．函数y＝x＋sin|x|，x∈[－π，π]的大致图象是( )
解析：选C.由奇偶性的定义可知函数y＝x＋sin|x|，x∈[－π，π]既不是奇函数也不是偶函数．选项A，D中图象表示的函数为奇函数，B中图象表示的函数为偶函数，C中图象表示的函数既不是奇函数也不是偶函数．
3．(2024·河南灵宝实验高中月考)在一个港口，相邻两次高潮发生的时间间隔为12 h，低潮时水深9 m，高潮时水深15 m．每天潮涨潮落时，该港口水的深度y(m)关于时间t(h)的函数图象可以近似地看成函数y＝Asin(ωt＋φ)＋k的图象，其中0≤t≤24，且t＝3时涨潮到一次高潮，则该函数的解析式可以是( )
π
A．y＝3sint＋12
6π
B．y＝－3sint＋12
6π
C．y＝3sint＋12
12π
D．y＝3cost＋12
12
- 1 -
2π2πππ
解析：选A.根据题意，由ω＝＝＝，排除选项C，D.当t＝3时，3sint＋12
T1266＝3sin?
?π×3?＋12＝15，符合题意，－3sinπt＋12＝－3sin?π×3?＋12＝9.不符合题意，
??6?6?6???
故选项B错误．
4．(2024·山东聊城期末考试)已知点P是单位圆上的一个质点，它从初始位置
P0?，－
?1
?23?
?开始，按逆时针方向以角速度1 rad/s做圆周运动，则点P的纵坐标y关于运动2?
时间t(单位：s)的函数关系式为( )
?π?A．y＝sin?t－?，t≥0
3???π?B．y＝sin?t－?，t≥0 6???π?C．y＝－cos?t－?，t≥0 3???π?D．y＝－cos?t－?，t≥0 6??
π
解析：选A.由题意，知圆心角∠POP0的弧度数为t·1＝t，则∠POx的弧度数为t－，
3π??t－则由任意角的三角函数的定义，知点P的纵坐标y＝sin??，t≥0，故选A. 3??
5．某港口在一天24小时内的潮水的高度近似满足关系式f(t)＝2sin?
?5πt－π?，其中
6??12?
f(t)的单位为m，t的单位是h，则12点时潮水的高度是____________m.
π?5π?解析：当t＝12时，f(12)＝2sin?5π－?＝2sin＝1.
6?6?答案：1
6．某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合，若将A，B两点的距离d(cm)表示成时间t(s)的函数，则d＝________，其中t∈[0，60]．
dπππt2
解析：秒针1 s转弧度，t s后秒针转了t弧度，如图所示，sin ＝，
3030605
- 1 -
πt所以d＝10sin .
60πt答案：10sin
60
7．如图，某游乐园内摩天轮的中心O点距地面的高度为50 m，摩天轮做匀速运动．摩天
?ππ?轮上的一点P自最低点A点起，经过t min后，点P的高度h＝40sin?t－?＋50(m)，那
2??6
么在摩天轮转动一圈的过程中，点P的高度在距地面70 m以上的时间将持续____________min.
π12ππt4π?ππ?解析：40sin?t－?＋50>70，即cost<－，从而<<，4 2?62363?6为4 min. 答案：4 8．健康成年人的收缩压和舒张压一般为120～140 mmHg和60～90 mmHg.心脏跳动时，血压在增加或减小．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg为标准值．记某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin(160πt)，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，试回答下列问题： (1)求函数p(t)的周期； (2)求此人每分钟心跳的次数； (3)求出此人的血压在血压计上的读数，并与正常值比较． 2π2π1 解：(1)T＝＝＝(min)． |ω|160π801 (2)f＝＝80. T(3)p(t)max＝115＋25＝140(mmHg)， p(t)min＝115－25＝90(mmHg)． 即收缩压为140 mmHg，舒张压为90 mmHg.此人的血压在血压计上的读数为140/90 mmHg，在正常值范围内． 9.如图，弹簧上挂的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移 s(cm)随时间t(s)的变化曲线是一个三角函数的图象． (1)经过多长时间，小球往复振动一次？ (2)求这条曲线的函数解析式； - 1 - (3)小球在开始振动时，离开平衡位置的位移是多少？ 解：(1)由题图可知，周期T＝2? ?7π－π?＝π， ? ?1212? 所以小球往复振动一次所需要的时间为π≈3.14 s. (2)可设该曲线的函数解析式为s＝Asin(ωt＋φ)(A＞0，ω＞0，0≤φ＜2π)，t∈[0，＋∞)， 从题图中可以看出A＝4，T＝2×?代入解析式，得sin? ?7π－π?＝π.即2π＝π，即ω＝2，将t＝π，s＝4 ?ω12?1212? ?π＋φ?＝1，解得φ＝π.所以这条曲线的函数解析式为 ?3?6?? s＝4sin?2t＋?，t∈[0，＋∞)． 3 π (3)当t＝0时，s＝4sin ＝23(cm)，故小球在开始振动时，离开平衡位置的位移是 323 cm. [B 能力提升] 10．如图所示，一个大风车的半径为8 m，每12 min旋转一周，最低点离地面2 m．若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转，则该翼片的端点P离地面的距离h(m)与时间t(min)之间的函数关系是( ) ? ? π? π A．h＝8cost＋10 6π B．h＝－8cost＋10 3π C．h＝－8sint＋10 6π D．h＝－8cost＋10 6 解析：选D.依题意可设h＝Asin(ωt＋φ)＋B(A>0，ω>0)，易知T＝12，A＝8，B＝10，2ππ?πt?所以ω＝＝，则h＝8sin?＋φ?＋10，当t＝0时，8sin φ＋10＝2，得sin φ＝－126?6?ππ?ππ?1，可取φ＝－，所以h＝8sin?t－?＋10＝－8cost＋10. 2?26?6 11．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋ - 1 - ??Acos?（x－6）?(A＞0，x＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为 ? 28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的月平均气温值为________℃. 28＋1828－18解析：依题意知，a＝＝23，A＝＝5， 22 π ?6 ?π?所以y＝23＋5cos?（x－6）?， ?6??π?当x＝10时，y＝23＋5cos?×4?＝20.5. ?6? 答案：20.5 12.如图所示，某小区为美化环境，准备在小区内的草坪的一侧修建一条直路OC，另一侧修建一条休闲大道．休闲大道的前一段OD是函数y＝kx(k>0)的图象的一部分，后一段DBC是函数y＝Asin(ωxπ ＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<，x∈[4，8])的图象，图象的最高点为 2垂足为点F. (1)求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式； 4 (2)若在草坪内修建如图所示的矩形儿童乐园PMFE，点P在曲线OD上，其横坐标为，点 3 B?5， ??83? ?，且DF⊥OC，3? E在OC上，求儿童乐园的面积． 832π2ππ 解：(1)由图象，可知A＝，ω＝＝＝， 3T4×（8－5）683?π?83??将B?5，代入y＝sin?x＋φ?中， ?3?6?3??得 5πππ ＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，即φ＝2kπ－(k∈Z)． 623 ππ83?ππ?因为|φ|<，所以φ＝－，故y＝sin?x－?. 3?233?6 83?ππ?(2)在y＝sin?x－?中，令x＝4，得D(4，4)，从而得曲线OD的方程为y＝2x3?3?6 ?443? (0≤x≤4)，则P?，?， ?33? ?4?43＝323，即儿童乐园的面积为323. 所以矩形PMFE的面积为S＝?4－?× 99?3?3 13．(选做题)为迎接夏季旅游旺季的到来，少林寺单独设置了一个专门安排游客住宿的客栈，寺庙的工作人员发现为游客准备的一些食物有些月份剩余不少，浪费很严重，为了控制经营成本，减少浪费，就想适时调整投入，为此他们统计每个月入住的游客人数，发现每 - 1 -
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