1、绘制根轨迹 （8 分）
(1) 系统有有 3 个开环极点（起点）：0、-3 、 -3 ，无开环零点（有限终点） ；（1分）
(2) 实轴上的轨迹：（- ∞， -3 ）及（ -3 ，0）； （1 分）
(3) 3 条渐近线：
a
3 3
2
3 60 , 180
（ 2 分）
(4)
分离点：
1 d
2 d 3 K r
s3
0
得： d
2
1
（2 分）
d d 3 4
(5) 与虚轴交点： D ( s) Im D( j ) Re D( j )
3
6s2 9s K r
0
9 K r
0 3 K r
6
2
0
54
（ 2 分）
绘制根轨迹如右图所示。
2、（7 分）开环增益 K 与根轨迹增益 Kr 的关系： G(s)
K r s( s 3)
2
K r 9 2
s s
3
1
得 K
K r 9
（ 1 分）
r
54
系统稳定时根轨迹增益 K 的取值范围： K r 系统稳定且为欠阻尼状态时根轨迹增益 系统稳定且为欠阻尼状态时开环增益
，
（ 2 分）
Kr 的取值范围： 4 K r 54 ， （3 分） K 的取值范围：
4 9
K
6
（1 分）
五、( 共 15 分 ) 已知某单位反馈系统的开环传递函数为 G(S) H (S)
K r (s 1) s(s－3)
，试：
1、绘制该系统以根轨迹增益 Kr 为变量的根轨迹（求出：分离点、与虚轴的交点
等）；（8 分）
2、求系统稳定且为欠阻尼状态时开环增益 K 的取值范围。（ 7 分）
(1) 系统有有 2 个开环极点（起点）：0、3， 1 个开环零点（终点）为： -1 ；（2 分
（2 分） (2) 实轴上的轨迹：（- ∞， -1 ）及（ 0， 3）；
(3) 求分离点坐标
，得 d1 1, d2 1 1 d 1 d d 3
1
3 ；
（2 分）
分别对应的根轨迹增益为
K r 1, K r
9
(4) 求与虚轴的交点
系统的闭环特征方程为 s( s－3) Kr (s 1) 0 , 即 s2 (K r
3) s K r 0
令
s2
( K r
3)s K r s j 0 , 得
3,
K r
3
（ 2 分）
根轨迹如图 1 所示。
图 1
2、求系统稳定且为欠阻尼状态时开环增益 K 的取值范围
系 统 稳 定 时 根 轨 迹 增 益 （ 2 分）
Kr 的 取 值 范 围 ： K r
3 ，
系 统稳 定且 为 欠阻 尼状 态时 根轨 迹增 益 Kr 的 取 值范 围 ： K r 3 ~ 9 ， （ 3 分） 开 环 增 益
K
K 与 根 轨 迹 增 益 Kr
的 关 系 ：
K r 3
（ 1 分）
系 统 稳 定 且 为 欠 阻 尼 状 态 时 开 环 增 益 K 的 取 值 范 围 ： K 1~ 3 （ 1 分） 五、已知系统开环传递函数为 G (s) H (s) k(1
s)
, k, ,T 均大于 0 ，试用奈奎
s(Ts 1)
斯特稳定判据判断系统稳定性。 解：由题已知：
(16 分 ) ［第五题、第六题可任选其一］
, K , , T 0 ， G(s) H ( s) K (1
s(Ts 1)
s)
系统的开环频率特性为
K [ (T
G( j )H ( j
) j (1 T
2
)]
)
(1 T 2 2 )
（ 分）
2
开环频率特性极坐标图
起点：
终点：
0 , A(0 ) , (0 )
900 ；（1 分）
2700 ；（1 分）
2
, A( ) 0, ( )
与实轴的交点：令虚频特性为零，即
1 T
0 得x
1 T
（ 2 分）
实部 G( j x )H ( j x K （2 分） 开环极坐标图如图 2 所示。（4 分）
由于开环传函无右半平面的极点，则 P 0 当 K 1时，极坐标图不包围
（－ 1，j0 ）点，系统稳定。（1 分） 当 K 1时，极坐标图穿过临界点
（－ 1，j0 ）点，系统临界稳定。（ 1 分） 当 K 1时，极坐标图顺时针方向包围（－ 1，j0 ）点一圈。
)
－ K －1
0
五题幅相曲线
图 2
N 2( N
N ) 2(0 1) 2
按奈氏判据， Z＝ P－ N＝ 2。系统不稳定。 (2 分) 闭环有两个右平面的极点。
五、系统结构如下图所示，求系统的超调量
% 和调节时间 ts 。（12 分）
R(s) 25 s( s 5)
C(s)
解：由图可得系统的开环传函为：
G (s)
25 s(s 5)
因为该系统为单位负反馈系统，则系统的闭环传递函数为，
(s)
G (s) 1 G (s)
1
25 s(s 5)
25
25
s(s 5) 25 s
52 5s 5
2
2
s(s 5)
2
与二阶系统的标准形式
(s) 2
s
2
n
2
n
s
比较，有
2
2
n
5
2
n
n
5
解得
n
0.5
5
/ 1
2
所以 % e
e 0.5 / 1 0.52
16.3%
ts
3
n
3 0.5 5 3.5
n
1.2s 3.5 0.5 5
（ 2 分） 4.5
n
或 ts
4
n
4 0.5 5
1.6s ， ts 1.4s ， ts
4.5 0.5 5
1.8s
六、（共 22 分）某最小相位系统的开环对数幅频特性曲线
L0 ( ) 如图 5 所示： 1、写出该系统的开环传递函数 G0 (s) ；（8 分）
2、写出该系统的开环频率特性、开环幅频特性及开环相频特性。
（3 分）
3、求系统的相角裕度 。（7 分）
4、若系统的稳定裕度不够大，可以采用什么措施提高系统的稳定裕度？（ 4 分） 解： 1、从开环波特图可知，原系统具有比例环节、一个积分环节、两个惯性环 节。 故其开环传函应有以下形式
G (s)
s( s 1)( s
1
2
1
K
1
(2
1)
分 )
由图可知： 分 )
1 处的纵坐标为 40dB, 则 L(1) 20lg K
40 , 得 K 100 (2
1 10和 2=100
（2 分）
故系统的开环传函为 G0 ( s)
100
（ 2 分）
1
s s 1 s
10 100
2、写出该系统的开环频率特性、开环幅频特性及开环相频特性：
100
开环频率特性
G0 ( j )
10
A0 ( )
2
（1 分）
jj1 j
100 100 1
100
2
1
开环幅频特性
（1 分）
1
10
0 (s) 开环相频特性： 3、求系统的相角裕度
90 tg 10.1 tg 1 0.01
（1 分）
：
求幅值穿越频率，令 A0 ( )
100 2
1 得 c 31.6rad / s （ 3 2
1 100
1
10
c
分）
1
( )90 tg 0.1 c 0c
tg 10.01
90
tg 1 3.16 tg
1
0.316
180（ 2 分）
（2 分）
180
0 ( c ) 180 180 0
对最小相位系统0 临界稳定
4、（4 分）可以采用以下措施提高系统的稳定裕度：增加串联超前校正装置；增 加串联滞后校正装置；增加串联滞后 - 超前校正装置；增加开环零点；增加PI 或 PD或 PID 控制器；在积分环节外加单位负反馈。 六、（共 22 分）已知反馈系统的开环传递函数为 G ( s) H (s)
K s( s 1)
，试：
1、用奈奎斯特判据判断系统的稳定性； （10 分） 2、若给定输入 r(t) = 2t ＋ 2 时，要求系统的稳态误差为 0.25 ，问开环增益 K 应取何值。（ 7 分） 3、求系统满足上面要求的相角裕度
。（ 5 分）
解： 1、系统的开环频率特性为
A( )
G( j )H ( j
)
K j (1 j )
（ 2
分）
K 1
幅频特性：
2
，
相频特性：
( )
90 arctan （2
分）
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