2014-2015学年第一学期概率论与数理统计学期末考试试卷（A卷）答案 Page 6 of 8
??2?2x 当0?x?1时，fX?x?????f?x,y?dy??dy?2?1?x?，
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其它?0 当0?y?2时，fY?y???y?1?所以，fY?y???2??0??1????f?x,y?dx?y2?dy?1?0y， 20?y?2其它1．
E?X?? E?Y???11?1????xfxdx?x?21?xdx?2????， X???23?3??0??2??2?y?， ??yfydy?y?1?dy???Y??3?2???0??122X EX11?1????xf?x?dx??x?2?1?x?dx?2?????，
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3?2?2所以，var?X??EX2??E?X????1?1?1?????， 6?3?1822 va?rY??EY??E?Y??2??22?2?2?????， 3?3?912?2x12?2x E?XY??1??????????2xyf?x,1y2y?dxdy??dx?xydy??x?2000dx，
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?432?600??所以，cov?X,Y??E?XY??E?X?E?Y??1121????． 63318 ?X,Y1cov?X,Y?18??1． ??2var?X?var?Y?12189?第 6 页 共 8 页
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九．（本题满分9分）
假定某电视节目在S市的收视率为15%，在一次收视率调查中，从该市的居民中随机抽取5000户，并以收视频率作为收视率，试用中心极限定理计算：两者之差的绝对值小于1%的概率． 附：标准正态分布N?0,1?分布函数??x?的某些数值：
x ??x? 解：
1.95 0.9744 1.96 0.9750 1.97 0.9756 1.98 0.9761 1.99 0.9767 设?5000表示调查的5000户居民中收看该电视节目的户数，则?5000~B?5000,0.15?．
??5000?由题设，所求概率为P???0.15?0.01?5000?．
????5000?0.15?5000???5000?0.01?5000?? P? ??0.15?0.01?P??5000??5000?0.15?0.85?5000?0.15?0.85????0.01?5000?? ?2????1
?5000?0.15?0.85? ?2??1.98??1
?2?0.9761?1?0.9522．
十．（本题满分10分） 设总体X的密度函数为
???xf?x?????0其中??0是未知参数，?X1, 解：
??10?x?1其它，
X2,?,Xn?是从该总体中抽取的一个样本．求?的最大似然估计量．
似然函数为
L?????f?xi????xii?1i?1nn??1??n2?x1x2?xn???1 ?0?xi?1,?i?1,?,n??．
所以，
n lnL????ln??2???1?ln?xx?x?， ?0?x?1,12ni?i?1,?,n??．
因此，
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dn11?x1x2?xn?． lnL??????lnd?2?2?令
dn11lnL????0，得??ln?x1x2?xn??0． d?2?2?22???nn???????解方程，得???．所以的最大似然估计量为?ln?xx?x???ln?XX?X???．
12n?12n???十一．（本题满分10分） 设总体X~N??,?2?，?X1,X2,?,Xn?是从总体X中抽取的一个简单随机样本．X与S2分
2S22别表示样本均值与样本方差．令T?X?，求E?T?，并指出统计量T是否为?的无偏估计量．
n 解：
E?X???，D?X???2n2，
由 D?X??EX2??E?X??，得 EX?????D?X???E?X??22??2n??2．
又 ES2??2，所以有
???2S2??S2?2 E?T??E??X?n???EX?E??n??
????????2ES22?2? ??． ??????n?n??S2这表明T?X?是?2的无偏估计量．
n2??第 8 页 共 8 页
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