2014-2015学年第一学期概率论与数理统计学期末考试试卷（A卷）答案 Page 1 of 8
北 京 交 通 大 学
2014~2015学年第一学期概率论与数理统计期末考试试卷（A卷）
参 考 答 案
一．（本题满分10分）
某学生无意将自己的钥匙丢掉了，他记得钥匙丢在教室里，宿舍里，操场上，道路上的概率分别为0.3，
0.25，0.35和0.1．如果钥匙丢在教室里，能被找到的概率为0.45；如果钥匙丢在宿舍里，能被找到的
概率为0.67；如果钥匙丢在操场上，能被找到的概率为0.27；如果钥匙丢在道路上，能被找到的概率为
0.12．⑴ 求该学生找到钥匙的概率（6分）；⑵ 如果该学生找到了钥匙，求他在操场上找到的概率（4
分）． 解：
设A1?“钥匙丢在教室里”，A2?“钥匙丢在宿舍里”， A3?“钥匙丢在操场上”，A4?“钥匙丢在道路上”． B?“找到钥匙”．
⑴ 所求概率为P?B?．由全概率公式，得 P?B???P?Ak?P?BAk?
k?14 ?0.3?0.45?0.25?0.67?0.35?0.27?0.1?0.12 ?0.409．
⑵ 所求概率为P?A3B?，由Bayes公式，得 P?A3B??P?A3?P?BA3??P?A?P?BA?kkk?14
?0.35?0.27
0.4094 ?0.23105134．
二．（本题满分9分）
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某射手对同一目标进行独立射击，他每次射击命中目标的概率为0.24，求该射手至少要射击多少次，才能使至少命中一次目标的概率在98%以上？ 解：
假设该射手进行n次射击，能至少命中一次目标． 设B?“n次射击至少命中一次目标”， A?“一次射击命中目标”，则P?A??0.24．
每次射击是否命中目标相当于做一次Bernoulli试验，则n次独立射击相当于做一n重Bernoulli试验．因此有
P?B??1?P?B??1??1?0.24??1?0.76n．
n由题设，P?B??1?0.76n?0.98，即0.76n?0.02， 取对数，得n?ln0.76?ln0.02， 因此有 n?ln0.02?14.25472952， ln0.76因此，需至少进行15次射击，才能使至少命中一次目标的概率在98%以上．
三．（本题满分9分）
从一副52张扑克牌中任意取出5张．设 X：取出的5张牌中的“黑桃”张数．
⑴ 求X的分布律（5分）；⑵ 写出X的分布函数F?x?（4分）． 解：
⑴ X的取值为0,1,2,3,4,5，并且
k5?kC13C39 P?X?k??， ?k?0,1,2,3,4,5?． 5C52或者为
X P 0 0.221534 1 0.411420 2 0.274280 3 0.081543 4 0.010729 5 0.000494 ⑵ 随机变量X的分布函数为
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?0?0.221534??0.632954?F?x???0.907234?0.988777??0.999506??1四．（本题满分9分）
设随机变量X的密度函数为
x?00?x?11?x?22?x?3 ． 3?x?44?x?5x?5?ax2?bx?c0?x?1， f?x???0其它?并且已知E?X??0.5，var?X??0.15，试求系数a、b、c． 解：
由于 1?112??fxdx?ax?bx?cdx?a?b?c， ??32??0??1?? 0.5?E?X??1112??xfxdx?xax?bx?cdx?a?b?c， ??432??0??1??又 EX2?var?X???E?X???0.15?0.52?0.4，所以有
2?? 0.4?EX????xf?x?dx??x?ax222??0??12111?bx?cdx?a?b?c，
543?1?1a?b?c?1?32?11?1解线性方程组，得 ?a?b?c?0.5．解此方程组，得a?12，b??12，c?3．
32?4?1a?1b?1c?0.4?43?5五．（本题满分9分）
某种型号的电子元件的使用寿命X（单位：小时）具有以下的密度函数：
?1000?x?1000p?x???x2 ．
?x?1000?0⑴ 求某只电子元件的使用寿命大于1500小时的概率（4分）；⑵ 已知某只电子元件的使用寿命大于1500小时，求该元件的使用寿命大于2000小时的概率（5分）．
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解：
⑴ 设A??电子元件的使用寿命大于1500小时?，则
1000100020??p?x?dx??dx??? P?A??P?X?150?． 2xx3150015001500?????? ⑵ 设B??电子元件的使用寿命大于2000小时?，则所求概率为P?BA?． P?BA????P?X?2000?． P?AB?P?X?1500,X?2000?P?A?P?A?P?A???????1000100010??p?x?dx??dx???而 P?X?200?， 2xx20002200020001P?X?200?023所以， P?BA????．
24P?A?3六．（本题满分9分）
设二维随机变量?X,Y?的联合密度函数为
f?x,?10?x?1,0?y?2x y???0其它?求：⑴ 随机变量Y边缘密度函数fY?y?（5分）；⑵ 方差D?Y?（4分）． 解：
⑴ fY?y???????f?x,y?dx．
因此，当y?0或者y?2时，fY?y??0． 当0?y?2时， fY?y???????f?x,y?dx??dx?1?y21y． 2y??1?0?y?2 ．
所以， fY?y???2?其它?012 ⑵ E?Y???yfY?y?dy??y?2?y?dy?．
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??22014-2015学年第一学期概率论与数理统计学期末考试试卷（A卷）答案 Page 5 of 8
??212 EY??yfY?y?dy??2y2?y3dy?
203????22??所以， D?Y??E?Y2???E?Y???22． 9七．（本题满分8分）
游客乘电梯由底层到电视塔顶层观光，电梯于每个整点的第5分钟、第25分钟和第55分钟从电梯底层起行，假设一位乘客于上午8时第X分到达电梯底层候梯处，且随机变量X服从区间?0，60?上的均匀分布，试求该乘客等候时间的数学期望． 解：
?1?0?x?60 X的密度函数为 fX?x???60
?其它?0设Y：游客的等候时间．则X与Y之间的函数关系为
0?x?5?5?X?25?X5?x?25? Y?g?X???25?x?55?55?X??60?X?555?x?60所以，
1 E?Y??E?g?X????g?x?fX?x?dx?g?x?dx ?600??5255560?1? ???5?x?dx???25?x?dx???55?x?dx???65?x?dx??11.67
60??052555???60八．（本题满分8分）
Y轴及直线2x?y?2?0所围成的三角形区域， 设G是由X轴、二维随机变量?X,Y?在区域G内
服从均匀分布．求X与Y的相关系数?X, 解：
Y．
由于区域G的面积为1，因此?X,Y?的联合密度函数为
f?x,?1y????0?x,?x,y??G ． y??G第 5 页 共 8 页
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