椭圆外区域各向异性问题的自然边界元法
赵自霞;杜其奎
【摘 要】以Helmholtz方程为例研究一类椭圆边界各向异性外问题的自然边界元方法. 通过自然边界归化, 获得了该问题的自然积分方程和Poisson积分公式,给出自然积分方程的数值解法, 最后给出数值例子以示文中方法的可行性与有效性. 【期刊名称】《南京师大学报（自然科学版）》 【年(卷),期】2008(031)001 【总页数】6页(P26-31)
【关键词】各向异性问题;Helmholtz方程;椭圆外区域;自然边界归化 【作 者】赵自霞;杜其奎
【作者单位】南京师范大学数学与计算机科学学院,江苏,南京,210097;南京师范大学数学与计算机科学学院,江苏,南京,210097 【正文语种】中 文 【中图分类】基础科学
第 3 1 卷第 1 期 20 0 8 年 3 月 南京 师大学报（自然科学版）J O U R N A L O F N A N JI N C N O R M A L U N I V E R S I T Y ( N a t u r al S ci e n c e E ditio n) Vol.3 1 N o.1 Ma r , 2 0 0 8椭 圆 外 区 域 各 向 异 性 问 题 的 自 然 边 界 元 法赵 自 霞 ， 杜 其 奎（南京师范大学数学与计算机科学学院 ， 江苏 南 京 210097）[ 摘 要] 以 H el m h oltz 方程 为例研究 一类椭 圆边 界各向异性外问题 的 自然 边 界 元 方法 ． 通 过 自然边 界归 化 ， 获得 了该问 题 的自然 积 分方
程 和 P ois s o n 积 分公 式 ， 给 出 自然 积 分方 程 的 数值解 法 ， 最 后 给出 数值例 子 以 示 文 中方法 的可 行性与有效性 ．[ 关 键 词】 各向异性问 题 ， H el m h oltz 方程 ， 椭 圆外 区 域 ， 自然 边 界 归 化[中 图 分类号] 0 2 4 1.8 2 [ 文 献 标识 码] A [ 文 章编 号] 1 0 0 1 -4 61 6( 2 008) 01 -00 2 6 -06N a t u r al B o u n d a r y E l e m e n t M e t h o d f o r a n A nis o t r o pi c P r o bl e m i n an E x t e ri o r E llip ti c Do m ai nZ h a o Zixia , D u Q ik ui( S c h o cd o f M a th e m a ti c s a n d C o m p U l e r S ci e n c e , N a n ji n g N o r m al U n i v e r sity , N a n ji n g 2 1 0 0 9 7 , C h i n a )A b s t r a c t : T h e n a t u r al b o u n d a ry el e m e n t m e th o d f o r a n a n i s o t r o pi c p r o bl e m o f H el m h oltz e q u a t i o n i n a n e x t e r i o r ellipti c do m ai n i s i n v e s tig a t e d.B y t h e p r i n cipl e o f n a t u r al b o u n d a ry r e d u c ti o n , th e n a t u r al i n t e g r al e q u a ti o n a n d th e P oi s s o n i n - te g r aJ f o r m u l a o f this p r o bl e m a r e o b t ai n e d , a n d a n u m e r i c al m e th o d o f th e n a t u r al i n t e g r al e q u a ti o n i s d i s c u s s e d.Fi n al - ly, s o m e n u m e r i c al e x a m pl e s a r e p r e s e n t e d t o d e m o n s t r a L e th e p e rf o r m a n c e o f this m e th o d.Ke y w o r d s : a n i s o t r o pic p r o bl e m , H el m h oltz e q u a t i o n , e x t e r i o r ellipci c p r o bl e m , n a t u r al b o u n d a ry r e d u c t i o n2 0 世 纪 7 0 年代 末 ， 由我 国计算 数学 家冯 康教 授首 创 并 由 其本 人 和 余德浩 教 授 发 展 起 来 的 自 然 边 界元 方 法 ， 有许 多优点 ， 如 易 于 实 现 ， 数值稳定 性 好 ， 与 有 限 元 具有 相 同 的 变 分形 式 ， 可 与 有 限 元 自 然 而 直 接 地 耦合 ， 用 有 限 元 与 自然 边 界 元 耦合 法求 解 外 问 题 时 人 们 通 常 选 取 圆 周 或 球 面 做 人 工 边 界 ． 但 对 具 有 长 条 型 内 边 界 的外 问 题 ， 以 圆周 或球 面并 非 最 佳选 择 ， 它 将 会 导 致 大 量 的 计算 ， 甚 至 无 法 获 得 满
意 的 结 果 ．可 以 预 测 ， 应 用 椭 圆 人 工 边 界 可 能 会 更 经 济 ，目 前 ，椭 圆外 区 域 上 的 自然 边 界 元 方 法 的 研 究 工 作 已 在 调 和 问 题 中 取 得 了一 些 进 展（二 维 问 题‘¨ ， 三维 问 题 ‘ 23 和 各向异 性 问 题
‘ 31）． 对 于 H el m h olt z 方 程 ， 目 前 研 究 很 少‘ 4.5 J ， 本 文 借助 于[ 1 ，3] 中 的 方 法 ， 以一类各 向 异 性 常系 数 H el m h olt z 方 程 为例 ， 巧 妙 地 利 用 坐 标 变 换 及 圆边 界 上 H el m h oltz 方 程 的 自然 积 分算 子 和 P oi s s o n 积 分公 式‘ 6 】 ， 研 究各 向 异 性 问 题 基 于 椭 圆 边 界 的 自 然 边界元 方 法 ， 给 出 了 理 论 分 析 ． 并用 数 值例 子 进步 证 明 了 该 方 法 的 可 行 性 和 有 效 性 ．2 1 ， 2 设厂 是 一 椭 圆 ， 即 厂 = { （x ，y）I 生 l} ， 不 妨 设 a > b > 0 ， 以 是 以 厂 为 内 边 界 的外 部 区 域．口 十 吾 2考 虑 如 下 二 维 H el m h olt z 方 程 外 问 题a 2 u o — — 了 + b 考 ≥ + k 2 rr.= o ， n 内 ， (， ) ax ‘收稿 日 期 ： 2 007- 0 9 - 2
6 ． 基金 项 目：国家自然 科学 基 金( 10 47 1 067 ) 、 江苏 省 基础 研 究计划( B K 2 006 2 15 ) 资助 项 目 ．作者简介：赵 自霞（1 9 8 2- ）， 女 ， 硕 士 研究 生 ， 研 究方向：微 分方 程 数值解 ． E - m ail : xi a n v0 3 1 3 @ 16 3 ． c o m通 讯 联 系 人：杜 其 奎( 1 96 3 -) ， 教 授 ， 博 士 生 导 师 ， 研 究 方向：有 限 元 、 边 界 元 方 法． E - m ail :d u qik ui @ nj n u ． ed u ． c n- 2 6 -第 3 1卷第 1期208年 3月南京 师大学报（自然科学版）JOURNALFJI NCMIVESTY(aturalciencditio n)ol.31o,摘 要]以Helmholtz方程 为例研究关 键 词】各向异性问 题 ， H el m h oltz 方程 ， 椭 圆外 区 域 ， 自然 边 界 归 化Bdylfnispi cPbl eixrillip ti cDaiZZixiaQikuicdthtispjigvsity97)b:rypiblqellipti ctigcipl eoi-aJthisFilyplrfKwpicellipci c世 纪 7 0年代 末 ， 由我 国计算 数学 家冯 康教 授首 创 并 由 其本 人 和 余德浩 教 授 发 展 起 来 的 自 然 边 界元 方
椭圆外区域各向异性问题的自然边界元法
