第二章函数
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1.☉%6#9##￥56%☉(2020·河北衡水中学高一月考)已知函数f(x)的定义域为[0,2],则函数
y=
??(2??)??
的定义域为( )。
A.{x|0 ??(2??)?? 的定义域是{x|0 2.☉%5##487@#%☉(2020·天津耀华中学高一检测)已知函数y=f(x+1)的定义域是[-2,3],则函数y=f(2x-1)的定义域是( )。 A.[0,2] B.[-1,4] C.[-5,5] D.[-3,7] 答案：A 解析：由-2≤x≤3,得-1≤x+1≤4,故-1≤2x-1≤4,解得0≤x≤。 25 5 ??2-2??+8(??≤1), 3.☉%4#￥443*￥%☉(2020·陕西西安中学高三期中)若函数f(x)={??为R (??>1)??上的减函数,则实数a的取值范围是( )。 A.(4,+∞) B.[4,+∞) C.[4,6] D.(0,+∞) 答案：C ??2-2??+8(??≤1),??2?? 解析：因为函数f(x)={??为R上的减函数,所以y=x-2x+8(x≤1),y=??(x>1) (??>1) ?? ?? ?? 1≤4, ?? 是减函数,且当x=1时,9-≥a,故只需满足{??>0,解得4≤a≤6。 2?? 9-≥??, 2 ?? ??2+3??(??≥0), 4.☉c8￥#￥#6%☉(2020·河北武邑中学月考)已知函数f(x)={为奇函数, ??(??)(??<0)则f(g(-1))= 。 答案：-28 ??2+3??(??≥0), 解析：∵函数f(x)={为奇函数,∴f(-x)=-f(x)。当x<0时,-x>0,∴ ??(??)(??<0) f(-x)=x2-3x,∴f(x)=-x2+3x,∴g(x)=-x2+3x,∴f(g(-1))=f(-4)=-16-12=-28。 5.☉%2@3@@￥87%☉(2020·湖北黄冈中学月考)已知f(x)为定义在R上的奇函 数,g(x)=f(x)-x,且当x∈(-∞,0]时,g(x)单调递增,则不等式f(2x-1)-f(x+2)≥x-3的解集为( )。 A.(3,+∞) B.[3,+∞) C.(-∞,3] D.(-∞,3) 答案：B 解析：因为f(x)为定义在R上的奇函数,g(x)=f(x)-x,所以g(-x)=f(-x)+x=-[f(x)-x]=-g(x),所以函数g(x)为奇函数。因为当x∈(-∞,0)时,g(x)单调递增,所以函数g(x)是R上的单调递增函数,因为f(2x-1)-f(x+2)≥x-3,所以f(2x-1)-(2x-1)≥f(x+2)-(x+2),即g(2x-1)≥g(x+2),所以2x-1≥x+2,解得x≥3,所以原不等式的解集为[3,+∞)。 6.☉%*5*01@*6%☉(2020·辽宁省实验中学高一期中)定义在R上的奇函数f(x)满足 f(2+??)=f(2-??),f(x)在区间[-2,0]上单调递增,则( )。 A.f(0.3) 解析：因为f(x)满足f(+??)=f(-??),所以f(x)图像的对称轴为直线x=,因为f(x)为奇函 2 2 2 1 1 1 111 数,所以f(0)=0。所以f(2)=f(2+2)=f(2-2)=f(-1)=-f(1)=0。因为f(x)在区间[-2,0]上单调递增,且f(x)为奇函数,所以f(x)在区间[-2,2]上单调递增,所以f(0.3)>0。因为f(x)的图像关于直线x=对称,所以f(√2)=f(1-√2)<0,所以f(√2) 21 1 1 13131 7.☉%#*#6@510%☉(2020·山东潍坊中学月考)已知y=f(x)的图像关于y轴对称,当x>0时,f(x)=x-2x+1。若当x∈[-2,-2]时,n≤f(x)≤m恒成立,则m-n的最小值为( )。 2 1 A. B. C. D.1 3 2 4 113 答案：D 解析：∵当x>0时,f(x)=(x-1),∴当x∈[-2,-2]时,f(-x)=(-x-1)=(x+1),由y=f(x)的图 2 2 2 1 像关于y轴对称知f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),∴f(x)=(x+1),x∈[-2,-],结合二次函数 2 2 1 的性质,可得x∈[-2,-]时,f(x)max=f(-2)=1,f(x)min=f(-1)=0。∵n≤f(x)≤m恒成立,∴n≤ 2 1 0,m≥1,m-n≥1。 8.☉%￥51#05**%☉(2020·浙江师大附中高一期中)设f(x)是连续的偶函数,且当x>0时是单调函数,则满足f(2x)=f(A.-2 B.-2 C.-8 答案：C 9 7 ??+1??+4 )的所有x之和为( )。 D.8 解析：∵f(x)为偶函数,∴f(2x)=f(-2x)。∵当x>0时,f(x)是单调函数,又满足f(2x)=f(??+4),∴2x= ??+1??+4 ??+1 或-2x= 79 ??+1??+4 ,即2x+7x-1=0或2x+9x+1=0,两个方程都有解。∴x1+x2=-,x3+x4=-,∴ 2 2 22 79 x1+x2+x3+x4=-2-2=-8。 9.☉%1￥*15@#0%☉(2020·河北衡水中学高一月考)已知定义在R上的函数f(x)在(-∞,-4)上是减函数,若g(x)=f(x-4)是奇函数,且g(4)=0,则不等式f(x)≤0的解集是( )。 A.(-∞,-8]∪(-4,0] B.[-8,-4)∪[0,+∞) C.[-8,-4]∪[0,+∞) D.[-8,0] 答案：C 解析：函数f(x)向右平移4个单位,得到f(x-4)。∵g(x)=f(x-4)是奇函数,∴g(x)的图像关于原点对称,则f(x)的图像关于(-4,0)对称,且g(0)=f(-4)=0。∵函数f(x)在(-∞,-4)上是减函数,∴f(x)在(-4,+∞)上是减函数。∵g(4)=0,∴g(-4)=g(4)=0,则f(-8)=f(0)=0,则f(x)的草图如图所示,则不等式f(x)≤0的解集是[-8,-4]∪[0,+∞)。 10.☉%#￥￥933￥1%☉(2020·河南南阳高一检测)已知二次函数f(x)的图像过点(0,4),对任意x满足f(3-x)=f(x),且有最小值。 47 (1)求函数f(x)的解析式; 答案：解:由题意知,二次函数图像的对称轴为直线x=,又最小值是,则可设 2 4 3 7 f(x)=a(??-2)+4(a≠0),又图像过点(0,4),∴a(0-2)+4=4,解得a=1, ∴f(x)=(??-)+=x-3x+4。 24 (2)求函数h(x)=f(x)-(2t-3)x在区间[0,1]上的最小值,其中t∈R; 222 答案：由(1)得h(x)=f(x)-(2t-3)x=x-2tx+4=(x-t)+4-t,其图像的对称轴为直线x=t。 ①当t≤0时,函数h(x)在[0,1]上单调递增,最小值为h(0)=4; 2 ②当0 ③当t≥1时,函数h(x)在[0,1]上单调递减,最小值为h(1)=5-2t。所以4,??≤0,2 h(x)min={4-??,0 5-2??,??≥1。 (3)在区间[-1,3]上,y=f(x)的图像恒在函数y=2x+m的图像的上方,试确定实数m的取值范围。 2 答案：由题可知f(x)>2x+m对x∈[-1,3]恒成立,所以m 327 2 327327 m<[f(x)-2x]min。设g(x)=x2-5x+4,则g(x)在[-1,3]上的最小值为g(2)=-4,∴m<-4。 599 11.☉%3@#68￥#4%☉(2020·天津实验中学高一期中)函数f(x)=??2+????+1是定义在[-1,1]上的奇函数。 (1)确定函数f(x)的解析式; 答案：解:因为f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,所以f(0)=0,f(x)=-f(-x),即 ??+?? a=0,??2+????+1=-??2-????+1,所以a=0,b=0,所以f(x)=??2+1。 (2)用定义证明f(x)的单调性; 12 答案：证明:任取-1≤x1 2 ??+??-??+???? ???? (??1-??2)(1-??1??2) 2+1)(??2+1)(??12 <0,所以f(x) 在[-1,1]上单调递增。 (3)解不等式f(t-1)+f(t)<0。 答案：解:因为f(t-1)+f(t)<0,所以f(t-1) 2 2 1 1 1.☉%6#3@*22￥%☉(2019·全国Ⅱ高考)设函数f(x)的定义域为R,满足f(x+1)=2f(x),且当 x∈(0,1]时,f(x)=x(x-1)。若对任意x∈(-∞,m],都有f(x)≥-,则m的取值范围是( )。 9 A.(-∞,4] C.(-∞,2] 答案：B 解析：当-1 2 2 1 1 59 8 B.(-∞,3] D.(-∞,3] 8 7 f(x)=2f(x-1)=2(x-1)(x-2);当2 …1 (??+1)??,-1 f(x)=??(??-1),0 2(??-1)(??-2),1 9 3 3 2 878 要使对任意x∈(-∞,m]都有f(x)≥-,必有m≤,即实数m的取值范围是(-∞,],故选B。 9 3 3 877 2.☉%2#925#*￥%☉(2018·全国Ⅲ高考)函数y=-x+x+2的图像大致为( )。 4 2 A.B. C. 答案：D D.图2-5 12 3516 解析：当x=0时,y=2,排除A,B。令x=,得y=>2,排除C,故选D。 3.☉%0@17*#3*%☉(2018·全国Ⅱ高考)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x)。若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=( )。 A.-50 B.0 C.2 D.50 答案：C 解析：∵f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,∴f(-x)=-f(x),且f(0)=0。∵f(1-x)=f(1+x),∴f(x)=f(2-x),f(-x)=f(2+x),∴f(2+x)=-f(x),∴f(4+x)=-f(2+x)=f(x),∴f(x)是周期函数,且一个周期为4,∴ f(4)=f(0)=0,f(2)=f(1+1)=f(1-1)=f(0)=0,f(3)=f(1+2)=f(1-2)=-f(1)=-2,∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+0+(-2)+0=0,则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+…+f(50)=12×0+f(49)+f(50)=f(1)+f(2)=2,故选C。 4.☉%￥*##7318%☉(2017·全国Ⅰ高考)函数f(x)在(-∞,+∞)单调递减,且为奇函数。若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是( )。 A.[-2,2] B.[-1,1] C.[0,4] D.[1,3] 答案：D 解析：∵函数f(x)为奇函数,且f(1)=-1,∴f(-1)=-f(1)=1,由-1≤f(x-2)≤1,得f(1)≤f(x-2)≤f(-1),又函数f(x)在(-∞,+∞)单调递减,∴-1≤x-2≤1,∴1≤x≤3,故选D。 2 5.☉%*13￥0@#5%☉(2017·浙江高考)若函数f(x)=x+ax+b在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M-m( )。 A.与a有关,且与b有关 B.与a有关,但与b无关 C.与a无关,且与b无关 D.与a无关,但与b有关 答案：B 解析： f(x)=(??+)-+b,①当0≤-≤1 242 时,f(x)min=m=f(-2)=-4+b,f(x)max=M=max{f(0),f(1)}=max{b,1+a+b},∴M-m=max{4,1+??+ ??2 ?? ??2 ??2 ??2??2 ?? },与a有关,与b无关;②当-2<0时,f(x)在[0,1]上单调递增,∴M-m=f(1)-f(0)=1+a,4 ??
2020_2021学年新教材高中数学第二章函数单元整合一课一练(含解析)北师大版必修第一册
