三角函数的单调性训练题
A级——保大分专练
π??1．函数f(x)＝tan?2x－?的单调递增区间是( ) 3??A.?B.?
?kπ－π，kπ＋5π?(k∈Z) 12??2122??kπ－π，kπ＋5π?(k∈Z) 12??2122?
π5π??C.?kπ－，kπ＋?(k∈Z)
1212??
π2π??D.?kπ＋，kπ＋?(k∈Z) 63??
πππkππkπ5π
解析：选B 由kπ－＜2x－＜kπ＋(k∈Z)，得－＜x＜＋(k∈Z)，所以函
232212212π???kππkπ5π?数f(x)＝tan?2x－?的单调递增区间是?－，＋?(k∈Z)．
3?12???2122
2．y＝|cos x|的一个单调递增区间是( )
?ππ?A.?－，?
?22?
3π??C.?π，? 2??
B．[0，π] D.?
?3π，2π?
?
?2?
解析：选D 将y＝cos x的图象位于x轴下方的部分关于x轴对称向上翻折，x轴上方(或x轴上)的部分不变，即得y＝|cos x|的图象(如图)．故选D.
?π?3．已知函数y＝2cos x的定义域为?，π?，值域为[a，b]，则b－a的值是( ) ?3?
A．2 C.3＋2
B．3 D．2－3
1??π??解析：选B 因为x∈?，π?，所以cos x∈?－1，?，故y＝2cos x的值域为[－2,1]，所
2??3??以b－a＝3.
π
4．(2019·西安八校联考)已知函数f(x)＝cos(x＋θ)(0<θ<π)在x＝时取得最小值，则3
f(x)在[0，π]上的单调递增区间是( )
1
A.?
?π，π?
??3??π2π? B.?，?
3??3
D.?
?2π?C.?0，?
3???2π，π?
?
?3?
ππ4ππ
解析：选A 因为0<θ<π，所以<＋θ<，又因为f(x)＝cos(x＋θ)在x＝时取得最
3333π2π2π2π5π?2π?小值，所以＋θ＝π，θ＝，所以f(x)＝cos?x＋?.由0≤x≤π，得≤x＋≤.3?33333?2π5ππ?π?由π≤x＋≤，得≤x≤π，所以f(x)在[0，π]上的单调递增区间是?，π?.
333?3?
5．(2018·北京东城质检)函数f(x)＝sinx＋3sin xcos x在区间?( )
A．1 3
C. 2
1－3 B. 2 D．1－3
2
?π，π?上的最小值为
??42?
π?1113?2
解析：选A 函数f(x)＝sinx＋3sin xcos x＝－cos 2x＋sin 2x＝sin?2x－?＋.
6?2222?π?π5π??ππ?∵x∈?，?，∴2x－∈?，?.
6?6?3?42?π5π
当2x－＝时，函数f(x)取得最小值为1.
66
?π?6．(2019·广西五市联考)若函数f(x)＝2sin ωx(0<ω<1)在区间?0，?上的最大值为1，则
3??
ω＝( )
1
A. 41C. 2
1 B.
3 D.
3 2
ππ?π?解析：选C 因为0<ω<1,0≤x≤，所以0≤ωx<，所以f(x)在区间?0，?上单调递增，
3?33?ωπωπ1πωππ1?π?则f(x)max＝f??＝2sin＝1，即sin＝.又因为0≤ωx<，所以＝，解得ω＝. 3323362?3?
7．函数y＝sin x－cos x的定义域为________．
解析：要使函数有意义，需sin x－cos x≥0，即sin x≥cos x， π5π
由函数的图象得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
44
2
π5π??故原函数的定义域为?2kπ＋，2kπ＋?(k∈Z)． 44??π5π??答案：?2kπ＋，2kπ＋?(k∈Z)
44??8．函数f(x)＝cos 2x＋6cos?
?π－x?的最大值为________．
??2?
3?11?π??2
解析：因为f(x)＝cos 2x＋6cos?－x?＝1－2sinx＋6sin x＝－2?sin x－?2＋，而sin x2?2?2??∈[－1,1]，所以当sin x＝1时，f(x)取最大值5.
答案：5
9．函数f(x)＝2sin?
?πx－π?(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为________．
?3??6
π3π
解析：因为0≤x≤9，所以0≤x≤，
62πππ7π
即－≤x－≤，
3636所以－
π?3?π
≤sin?x－?≤1，
3?2?6
故f(x)的最大值为2，最小值为－3，它们之和为2－3. 答案：2－3
?π??ππ?10．若函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间?0，?上单调递增，在区间?，?上单调递减，则
3???32?
ω＝________.
解析：法一：由于函数f(x)＝sin ωx(ω>0)的图象经过坐标原点，由已知并结合正弦函数的π12π4π3
图象可知，为函数f(x)的周期，故＝，解得ω＝.
34ω32
π?π?法二：由题意，得f(x)max＝f??＝sinω＝1.
3?3?ππ3
由已知并结合正弦函数图象可知，ω＝，解得ω＝.
3223
答案：
2
π??11．已知函数f(x)＝2sin?2x＋?. 4??(1)求函数f(x)的单调递增区间；
?π3π?(2)当x∈?，?时，求函数f(x)的最大值和最小值．
4??4
3
πππ
解：(1)令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
2423ππ
则kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
88
3ππ??故函数f(x)的单调递增区间为?kπ－，kπ＋?，k∈Z.
88??3ππ7π?π3π?(2)因为当x∈?，?时，≤2x＋≤，
4?444?4π?2?所以－1≤sin?2x＋?≤，所以－2≤f(x)≤1， 4?2?所以当x∈?
?π，3π?时，函数f(x)的最大值为1，最小值为－2. ?4??4
133
12．已知函数f(x)＝sin 2x－cos 2x－.
222(1)求函数f(x)的最小正周期和最大值； (2)讨论函数f(x)在?
?π，2π?上的单调性．
3??6?
π?1333?解：(1)因为函数f(x)＝sin 2x－cos 2x－＝sin?2x－?－，
3?2222?2－3
所以函数f(x)的最小正周期为π，最大值为.
2π?π2π?(2)当x∈?，?时，0≤2x－≤π，
3?3?6
πππ5π
从而当0≤2x－≤，即≤x≤时，f(x)单调递增；
32612ππ5π2π
当≤2x－≤π，即≤x≤时，f(x)单调递减． 23123
?π5π??5π，2π?上单调递减． 综上可知，f(x)在?，?上单调递增，在?3??612??12?
B级——创高分自选
?7π??π??π??π?1．已知函数f(x)＝2sin?x＋?，设a＝f??，b＝f??，c＝f??，则a，b，c的大小关
3???7??6??3?
系是________(用“<”表示)．
?π??π?解析：函数f(x)＝2sin?x＋＋2π?＝2sin?x＋?， 33????
4
a＝f??＝2sin
7
?π????π????π???
10π
， 21π2
b＝f??＝2sin ，
6c＝f??＝2sin
3
2ππ＝2sin ， 33
π10ππ?π?因为y＝sin x在?0，?上单调递增，且<<，
2?3212?π10ππ
所以sin 3212即c 答案：c π???π??π?2．(2018·四川双流中学模拟)已知函数f(x)＝sin?ωx＋?(ω>0)，f??＝f??，且f(x) 4???6??3?在? ?π，π?上单调递减，则ω＝________. ??2? π?π??π?解析：由f??＝f??，可知函数f(x) 的图象关于直线x＝对称， 4?6??3?πππ ∴ω＋＝＋kπ，k∈Z， 442∴ω＝1＋4k，k∈Z， 又∵f(x)在? ?π，π?上单调递减， ??2? Tππ ∴≥π－＝，T≥π， 222 2π ∴≥π，∴ω≤2， ω 又∵ω＝1＋4k，k∈Z，∴当k＝0时，ω＝1. 答案：1 ?π?3．已知函数f(x)＝2asin?x＋?＋a＋b. 4?? (1)若a＝－1，求函数f(x)的单调递增区间； (2)若x∈[0，π]，函数f(x)的值域是[5,8]，求a，b的值． ?π?解：(1)当a＝－1时，f(x)＝－2sin?x＋?＋b－1， 4?? ππ3π 由2kπ＋≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)， 242 5 π5π 得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)， 44 π5π??所以f(x)的单调递增区间为?2kπ＋，2kπ＋?(k∈Z)． 44??ππ5π (2)因为0≤x≤π，所以≤x＋≤， 444所以－ 2?π?≤sin?x＋?≤1，依题意知a≠0. 4?2? ①当a>0时，有{2a＋a＋b＝8，b＝5， 所以a＝32－3，b＝5. ②当a<0时，有{b＝8，所以a＝3－32，b＝8. 综上所述，a＝32－3，b＝5或a＝3－32，b＝8. 2a＋a＋b＝5， 6
高中数学三角函数的单调性训练题
