希望杯第二十三届(2012年)全国数学邀请赛初一第1试
一、选择题(每小题4分，共40分)
?4?(?1)2 1．计算：1?(?2)?=（ ）
42 (A)一2 (B)-1 (C)6 (D)4 2．北京景山公园中的景山的相对高度(即从北京的地平面到山顶的垂直距离)是45.7米，海拔高度是94.2米．而北京香山公园中的香炉峰(俗称“鬼见愁”)的海拔高度是557米．则香炉峰的相对高度是( )米．
(A)508.5 (B)511.3 (C)462.8 (D)605.5 3．If rational numbers a，b，and c satisfy a＜b＜c，then |a—b|+|b—c|+|c—a|=( ) (A)0 (B)2c一2a (C)2c一2b (D)2b一2a
4．某人在练车场上练习驾驶汽车，两次拐弯后的行驶方向与原来的方向相反，则这两次拐弯的角度可能是( )
(A)第一次向左拐40°，第二次向右拐40° (B)第一次向右拐50°，第二次向左拐130° (C)第一次向右拐70°，第二次向左拐110° (D)第一班向左拐70°，第二次向左拐1lO° 5．某单位3月上旬中的1日至6日每天用水量的变化情况如图1所示．那么这6天的平均用水量是( )吨．
(A)33 (B)32.5 (C)32 (D)31
6．若两位数ab是质数，交换数字后得到的两位数ba也是质数，则称ab为 绝对质数．在大于11的两位数中绝对质数有( )个． (A)8 (B)9 (C)10 (D)11 7．已知有理数x满足方程
12012?xx?11x4?2009?，则9=( ) 2012x?49 (A)一41 (B)一49 (C)41 (D)49
8．某研究所全体员工的月平均工资为5500元，男员工月平均工资为6500元，女员工月平均工资为5000元，则该研究所男、女员工人数之比是( )
(A)2：3 (B)3：2 (C)1：2 (D)2：l
9．如图2，△ABC的面积是60，AD：DC=1：3，BE：ED=4：l，EF：FC=4：5．则△BEF的面积是( )
(A)15 (B)16 (C)20 (D)36
10．从3枚面值3元的硬币和5枚面值5元的硬币中任意取出1枚或多于1枚，可以得到n种不同的面值和，则n的值是( ) (A)8． (B)15． (C)23． (D)26． 二、A组填空题（每小题4分，共40分） 11．若x=0.23是方程mx?1?0.12的解，则m=__________． 5
12．如图3，梯形ABCD中．∠DAB=∠CDA=90°，AB=5，CD=2，AD=4．
以梯形各边为边分别向梯形外作四个正方形．记梯形ABCD的面积为S1， 四个正方形的面积和为S2，则
S1=_____________. S21，则a=_______. 3213．若有理数a的绝对值的相反数的平方的倒数等于它的相反数的立方的
2
2
2
2
14. lf a＜－2,－1＜b＜O, H=－a－b ,O=a+b ，P=－a+b, and E=a-b, then the magnitude relation of the four number H, O, P, and E is________________________.
(英汉小词典:magnitude relation 大小关系 ) 15．某农民在农贸市场卖鸡．甲先买了总数的一半又半只．然后乙买了剩下的一半又半只．最后丙买了剩下的一半又半只 ，恰好买完．则该农民一共卖了___________只鸡．
22
16．若(a一2b＋3c＋4)＋(2a一3b＋4c一5)≤0，则6a一10b＋14c－3=________________． 17．如图4,在直角梯形纸片ABCD中，AD∥BC,AB⊥BC,AB=10,BC=25，AD=15，现以BD为折痕,将梯形ABCD折叠，使AD交BC于点E．点A落到点A1,则△CDE的面积是_______________．
22
18.代数式5a十5b—4ab一32a一4b十lO的最小值是__________． 19．如图5，△ABC中, ∠ACB=90°，AC=lcm．AB=2 cm．以B为中心，将△ABC顺时针旋转，使锝点A落在边CB延长线上的A1点，此时点C落到点C1，则在旋转中，边AC变到A1C1
2
所扫过的面积为_________cm(结果保留π)．
20．在一条笔直的公路上，某一时刻，有一辆客车在前，一辆小轿车在后，一辆货车在客车与小轿车的正中间同向行驶，过了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿车追上了客车，此后，再过t分钟，货车追上了客车，则t=_________________． 三、B组填空题(每小题8分，共40分)
21．已知2x一3y=z＋56, 6y=91－4z－x，则x，y, z的平均数是_____________，又知x
2
＞0并且(x一3)=36，则x=________ ，y=_________，z=__________．
22.有长为lcm, 2cm, 3cm, 4cm, 5cm, 6cm的六根细木条，以它们为边(不准截断或连接)可以构成_______个不同的三角形，其中直角三角形有____________个．
23.已知11瓦(0.011千瓦)的节能灯与60瓦（即0.06千瓦)的白织灯的照明效果相同，使用寿命都越过3000小时．而节能灯每只售价为27元，白炽灯每只售价为2.5元．电费为0．5元／千瓦时．若用一只11瓦节能灯照明1500小时，则电费为_________元．对于11瓦的节能灯和60瓦的白炽灯，当照明时间大于_______小时时，买节能灯更划算．
24．已知正整数a，b的最大公约数是3，最小公倍数是60，若a＞b,则
a2?b2=_____________. 2ab25．如图6，在△ABC中，∠ACB=90°，M是∠CAB的平分线AL的中点. 延长CM交AB于K，BK=BC．则∠CAB=_______°,
∠ACK =_________.
∠KCB
第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛第1试答案
题号 1 答案 C 题号 11 答案 题号 答案
9、（1）面积公式:S=底边×高÷2，直接计算：AD:DC=1:3，高相同，则面积比也为1:3，因此，S△BDC=S△ABC×3/4，即60×3/4=45。以此类推，得到答案为选项B.
（2）S△BEF/S△BEC=EF/EC=4/9，S△BEC/S△BDC=BE/BD=4/5，S△BDC/S△ABC=DC/AC=3/4，所以，S△BEF/S△ABC=4/9 × 4/5 × 3/4 =4/15 ，故，S△BEF= S△ABC × 4/15 =60×4/15=16.
10、（1）画出3个3元和5个5元的图示，3枚3元硬币，可组成3、6、9共3种不同面值，5枚5元硬币，可以组成5、10、15、20、25共5种不同面值，这样有 3+5=8种不同面值；再继续用3元和5元的硬币组合，可以得到15种不同面值。因此，共有：8+15=23种.
3 3 3 21 22 23 8.25；1000 24 25 45°；12 13 -2 14 15 16 -1 17 18 19 20 2 A 3 B 4 D 5 C 6 A 7 A 8 C 9 B 10 C ?18 235P?H?O?E 7 705-58 65?15 12497；1 ;9;?39;79 33999或 40401 35 5 5 5 5 （2）3元面值硬币可取0枚、1枚、2枚、3枚共4种取法，5元面值硬币可取0枚、1枚、2枚、3枚、4枚、5枚共6种取法，但3元和5元硬币不能同时取0枚，因此共4×6-1=23种取法，即23种不同面值.
14、（1）根据题目条件，假设a=-3、b=-0.1，逐个套入等式，根据结果比较HOPE
（2）由条件可知，a和b都为负数，负负得正；且b的绝对值为小于1的小数，因此b2＜|b|。由此可以判断HOPE的大小
（3）由题目条件可知，a＜-2，所以-a＞2，a2＞4，-a＜a2 ；-1＜b＜0，所以0＜b2＜-b＜1。据此可以推断HOPE的大小，其中H和O的大小，可以二者代入符合条件数值进行比较。 16、任何数的平方都≥0，因此由题目条件可知：a-2b+3c+4=0，2a-3b+4c-5=0，
二者相加可得：3a-5b+7c-1=0，即，3a-5b+7c=1，故，6a-10b+14c-3=2×(3a-5b+7c)-3=2×1-3=-1
17、作DF⊥BC于F点。设EF=x ，又，EF=EA1，故EF=EA1=x。
因此，DE=DA1-EA1=15-x。根据勾股定理，DE2=DF2+EF2，即(15-x)2=102+x2，解得x=25/6。故△CDE面积为：CE×DF×1/2=(EF+CF)×10×1/2=(25/6+25-15) ×10×1/2=425/6 18、5a2+5b2-4ab-32a-4b+10=a2+4b2-4ab + 4a2-32a+64+b2-4b+4-58=(a-2b)2+4(a-4)2+(b-2)2-58，因此当a=4且b=2时，上式等于 -58，为最小值.
19、由∠ACB=90°，AC/AB=1/2，可知∠ABC=30°，∠ABA1=∠CBC1=150°。故所扫过面积是：S扇形BAA1+S△ABC- S扇形BCC1-S△A1BC1= S扇形BAA1 - S扇形BCC1=π×22×150°/360°-π×(22-12)×150°/360°=5π/12
20、设轿车速度为v1，货车速度为v2，客车速度为v3，三车之间的初始距离为s，则： v1-v2=s/10，v1-v3=2s/(10+5)，二式相减可得：v2-v3=2s/15- s/10= s/30， 故货车追上客车的时间为：t=30-10-5=15分钟。
21、2x-3y-z=56，x+6y+4z=91，二式相加可得：3x+3y+3z=147，即x+y+z=49，故：x、y、z的平均数为：49/3；因(x-3)2=36，故x-3=±6，又x＞0，故x=9，代入方程式得：y=-39，z=79 22、有组合：2、3、4；2、4、5； 2、5、6； 3、4、5； 3、4、6； 3、5、6； 4、5、6， 共计7个不同的三角形；根据勾股定理可知，只有1个直角三角形：3、4、5
23、电费：0.011×1500×0.5=8.25. 设照明时间为x，在此时间时，两种灯的费用相同，则： 27+0.011×x×0.5=2.5+0.06×x×0.5，解方程得：x=1000
24、明确最大公约数及最小公倍数的概念。最小公倍数=两数的乘积/最大公约数 设a=3x，b=3y，则：(x，y)=1且xy=20，又，a＞b，即x＞y，故： x=20，y=1或x=5，y=4，因此(a2-b2)/2ab=399/40或9/40
25、设∠CAB=2α，因为AM=ML，且∠ACB=90°，故CM=AM，∠ACM=∠MAC=α， 故∠CKB=∠CAK+∠ACM=3α，∠KCB=90°-∠ACM=90°-α， 又BK=BC，故∠CKB=∠KCB，则3α=90°-α，α=22.5°，
因此，∠CAB=2α=2×22.5°=45°，∠ACK/∠KCB=α/(90°-α)= 22.5°/(90°-22.5°)=1/3
2012年第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛初一第2试
一、选择题（每小题4分，共40分）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的. 1.下面四个命题：其中错误的命题的个数是（ ） （1） 若两个角是同旁内角，则这两个角互补。 （2） 若两个角互补，则这两个角是同旁内角。 （3） 若两个角不是同旁内角，则这两个角不互补。 （4） 若两个角不互补，则这两个角不是同旁内角。 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4
2.若两位自然数ab是质数，且交换数字后的两位数ba也是质数，则称ab为绝对质数，于是两位数中的所有绝对质数的乘积的个位数是（ ） （A）1 （B）3 （C）7 （D）9 3.如图1，将边长为4cm的等边?ABC沿边BC向右平移2cm得?DEF，DE与AC交于点G，则S四边形ABFD:S?ABC?（ ） （A）3：2
（B）2：1
（C）5：2
（D）3：1
4.有理数a,b,c在数轴上的位置如图2所示，O为原点，则代数式
a?b?b?a?a?c?c?（ ）
（A）?3a?2c （B）?a?ab?2c （C）a?2b （D）3a
5.The perimeter of a triangle is 18 ,while each side is an integer, if the longest side is not a prime number, then the number of such triangle is ( ) （A）4 （B）5 （C）6 （D）7
（英汉小词典：perimeter of a triangle 三角形的周长；prime number 质数） 6.77可以表示成n(n?2)个连续自然数的和，则n的值 的个数是（ ） （A）1
（B）2
（C）3
?（D）4
7.如图3，?ABC中，?BCA?90，点E在边CA上，点D和F在边BA上，若BC=CD=DE=EF=FA，则?A?（ ） （A）20
?
（B）18
?
（C）15
?
（D）12
?8.已知x,y是非负整数，且使
x?14?y?是整数，那么这样的数对(x,y)有（ ）个。 23（A）1 （B）2 （C）3 （D）2012
9.身高两两不同的30个学生面向老师站成一排，其中恰有11个学生高于自己左侧相邻的同学，那么高于自己右侧相邻同学的学生有（ ）人。 （A）11 （B）12 （C）18 （D）19 10.若x+y=3，xy=1,则x?y?（ ） （A）33 （B）231
（C）123
（D）312
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希望杯初一数学竞赛试题
