2016年全国高中数学联赛江西省预赛试题及解答
2016年6月5日上午8:30??11:00
一、填空题（每小题7分，共56分）
1、若y?log2016?x2?ax?65?的值域为R?，那么a的取值范围是 ． 2、四面体ABCD中，?ABC是一个正三角形，AD?BD?2，AD?BD， AD?CD，则D到面ABC的距离为 ．
3、若对于所有的正数x,y，均有x?y?ax?y，则实数a的最小值是 ． 4、已知P是正方形ABCD内切圆上的一点，记?APC??,?BPD??，则
tan2??tan2?? ． 5、等差数列2,5,8,,2015与4,9,14,,2014的公共项（具有相同数值的项）的个数
是 ．
6、设x为锐角，则函数y?sinxsin2x的最大值是 ．
7、若将前九个正整数1,2,3,4,5,6,7,8,9分别填写于一张3?3方格表的九个格子中，使得每行三数的和，每列三数的和皆为质数，你的填法是
8、把从1到n(n?1)这n个连续正整数按适当顺序排成一个数列，使得数列中每相邻两项的和为平方数，则正整数n的最小值是 ．
二、解答题（共64分） Yx2y29、（14分）如图，CD是椭圆2?2?1的一条直径， ab过椭圆长轴的左顶点A作CD的平行线，交椭圆于 另一点N，交椭圆短轴所在直线于M，
A证明：AM?AN?CO?CD．
1
NMODBXC10、（15分）如图，D是?ABC的旁心，点A关于直线DC的对称点为E．证明：
(1)、B,C,E三点共线；(2)、A,B,D,E四点共圆．
ABCED11、（15分）设x,y,z为正数，满足：xy?yz?zx?1，证明：
xyz(x?y)(y?z)(x?z)?(1?x2)(1?y2)(1-z2)
12、（20分）设集合A??1,2,,2016?，对于A的任一个1008元子集X，若存在
x,y?X，满足x?y,xy，则称X为“好集”，求最大的正整数a，（a?A），使得任一个含a的1008元子集皆为“好集”．
2
1.答案：?16?a?16．
解：由值域y?R?，?x?ax?65?1，?x?ax?64?0
22???a2?4?64?0，??16?a?16.
232.答案：．解：如图，据题意得，AB?AD2?BD2?22，
3A于是BC?CA?AB?22，CD?AC2?AD2?2，
222因BC?BD?CD，得BD?CD，从而以D
为顶点的三面角是三直三面角，
CBD1432四面体体积V?AD?S?BCD?，而S?ABC??AB?23，
33412323423若设D到面ABC的距离为h，则V?h?S?ABC?由得到h?． h，h?，
333333.答案：2．
?yy?xx????2， D解：由????1，得???x?y??x?y?Px?yx?y????当x?y时取等号． O4.答案：8．
A解：如图建立直角坐标系，设圆方程为x2?y2?r2，
则正方形顶点坐标为A(?r,?r),B(r,?r),C(r,r),D(?r,r)，
若点P的坐标为P(rcos?,rsin?)，于是直线PA,PB,PC,PD的斜率分别为
1?sin?1?sin?1?sin?1?sin?kPA?,kPB??,kPD??，kPC?，
1?cos?1?cos?1?cos?1?cos??kPC?kPA?22所以tan?????4(cos??sin?)，
?1?kPAkPC?222YCXB?kPD?kPB?2222tan?????4(cos??sin?)，由此立得tan??tan??8．
?1?kPBkPD?解2：取特例，P在坐标轴上，则???，
22222这时，tan??cot???2?tan?，?tan??tan??2?2?8
15.答案：134．
解：将两个数列中的各项都加1，则问题等价于求等差数列3,6,9,,2016与等差数列5,10,15,,2015的公共项个数；前者是M??1,2,3,,2016?中的全体能被3整除的数，
后者是M中的全体能被5整除的数，故公共项是M中的全体能被15整除的数，这种数有
2?2016??134个． ??15??
3
43． 9解：由y?2sin2xcosx，得y2?4sin4xcos2x?2(1?cos2x)(1?cos2x)?2cos2x
6.答案：?(1?cos2x)?(1?cos2x)?2cos2x?1?2?16?2??2?， ????3?3?27??2所以y?337649351432．当cosx?时取得等号．
3987.如右图
8.答案：15．
例如，排出的一个数列为
(8,1,15,10,6,3,13,12,4,5,11,14,2,7,9)．
解：这是一个操作问题，若用文字表达较为繁琐，故适宜作为填空题直接操作． 记这n个连续正整数的集合为M??1,2,,n?，由于n?1，
则M中必有2，而2?7?9，所以n?7，当n?7时，从1到7这7个数可以搭配成满足条件的三个数段：
(1,3,6),(2,7),(4,5)，但它们不能连接成一个7项的数列，故应增加后续的数，增加8可使得第一段扩充成(8,1,3,6)，增加9可使得第二段扩充成(2,7,9)，但新的三段也不能连接，还需增加新数，即n?10，而之前的数若与8,9,10邻接，只有
8?1?9,9?7?16,10?6?16，这三段扩充为
(8,1,3,6,10)，(2,7,9)，(4,5)，仍旧不能连接，应当借助新的平方数25，从1到10这10
个数能搭配成和为25的最小数是15，则n?15，而当M??1,2,的情形：
,15?时，可排出上面
(8,1,15,10,6,3,13,12,4,5,11,14,2,7,9)． 9.证1：椭圆方程为x?acos?,y?bsin?，
点A,N的坐标为A(?a,0),N(acos?,bsin?)，则直线AN方程为?x??a?tcos?， ……3' ??y?tsin?222222代入椭圆方程得到(bcos??asin?)t?2abtcos??0， a?2ab2cos?AM?(??)，……6' AN?t?2，222cos?2bcos??asin?2a2b2因此AM?AN?2，……9' 222bcos??asin?又据AN∥CD，则点C,D坐标为：C(?ODcos?,?ODsin?)，
D(ODcos?,ODsin?)，……12'
a2b2因为C,D在椭圆上，则CO?2，而，
bcos2??a2sin2?2 4
2a2b2CO?CD?2CO?2，因此AM?AN?CO?CD．……14' 222bcos??asin?2证2：
易知CD的斜率k存在，不妨令CD:y?kx，与椭圆方程联系，
?abkabC,解得??b2?a2k2b2?a2k2????abkab、D,??2? ……3' 22222b?ak???b?ak?CO??1?k?ab222222b?akb?akAN方程为： y?k?x?a?,?M?0,ka?.
,CD?4?1?k2?a2b2222, ?CO?CD?2?1?k2?a2b2b?ak222…6'
2222322222将AN方程与椭圆方程联立，得b?akx?2akx?ka?ab?0
??2a3k2ab2?a3k2?xA?xN??2,?xN?2 ……9' 2222b?akb?ak2kab2yN?2,?AM?a1?k2 ……12' 22b?ak?ab2?a3k2?4k2a2b42ab21?k2AN??2?a???2， 22222222b?ak?b?ak??b?ak?2b?ak10.证：1、延长DC到M，延长AC到N,连CE，D为旁心，?CD平分?BCN…2' 又A、E关于DC对称，?CM平分?ACE??DCN??ACM,??BCD??MCE ??BCN??ACE,?B、C、E三点共线。……5' 2、过C作CI//AE交AD于I，则IC?DC ……7' ?I为ABC内心。连BI,则BI平分?ABC,……10' ??IBD?90?,?B、D、C、I四点共圆，……12' ??CBD??CID??EAD,
?A、B、D、E四点共圆。……15'
11.证：据条件，即要证 xyz(x+y+z-xyz)?(1?x2)(1?y2)(1-z2) ①
222222222也即xyz(x+y+z)?1-(x?y?z)?(xy?yz?xz) ② ……3'
2222222将此式各项齐次化，因为1?(xy?yz?xz)?xy?yz?xz?2xyz(x?y?z) 6' x2?y2?z2?(x2?y2?z2)(xy?yz?xz)?x3(y?z)?y3(x?z)?z3(x?y)?xyz(x?y?z)代入②， 只要证xyz(x?y?z)?
2(x2y2?y2z2?x2z2)?x3(y?z)?y3(x?z)?z3(x?y)?xyz(x?y?z)即x3(y?z)?y3(x?z)?z3(x?y)?2(x2y2?y2z2?x2z2)?0……12'
222也即xy(x?y)?yz(y?z)?xz(x?z)?0。
5
?AM?AN?2a2b2?1?k2?222?CO?CD …14'
此为显然，故命题得证．…15' 证2：由题设得：
y?x?z??1?zx,x?y?z??1?yz,z?x?y??1?xy，
三式相乘，故原不等式等价于证明：
?1?zx??1?yz??1?xy???1?x2??1?y2??1?z2?……3'
上式两边展开并化简得：
x2?y2?z2??xy?yz?zx??x2y2?y2z2?z2x2??x2yz?xy2z?xyz2? ……6'
配方得：?x?y???y?z???z?x???xy?xz???yz?xy???yz?zx?
222222?x2?y?z??y2?z?x??z2?x?y? ……9'
即1?z222?2??x?y???1?x??y?z???1?y??z?x?22222?0???……12'
0?x,y,z?1,?1?x2?0,1?y2?0,1?z2?0,????显然成立. ……15'
12.解：因任何正整数n可以表为n?2t形式，其中??N，t为正奇数，于是集合A可划分为以下1008个子集：
?Aj?mm?2?(2j?1),??N,1?m?2016，j?1,2,??,1008……4'
对于集合A的任一个1008元子集X，只要集X中含有某一个Aj中的至少两个元素
x,y,(x?y)，因x?2k1(2j?1),y?2k2(2j?1)，k1?k2，则xy；此时X为好集； 以下证明正整数a的最大值为671： ……8'
若a?671时，对于A的任一个1008元子集X，如果X中含有某个Aj中的至少两个元
素，则X便是好集；如果Aj中的1008个集合，每个集合中恰有一个元素在X中，那么A1007也有一个元素在X中，但A于是2013?X，而a2013，?为单元素集，1007??2013??(2013?671?3?3a)，这说明X仍是好集，因此a?671合于要求． ……12' 下面说明当a?672时，存在含a的集X不是好集；分两种情况：
(1)、若a?1009，取1008元集X0??1009,1010,,2016?，则a?X0，
因X0中任两个不同元素x?y，均有x?y，故X0不为好集，这种a不合要求．……15'
(2)、若672?a?1008，记X1??672?jj?0,1,X2?X0\\?2(672?j)j?0,1,,336?，令X?X1,336?，
X2，则X?1008，且a?X1，
若X中存在x?y,xy，因x?672，y?2016，则y?3x；
若x?672，如果xy,x?y，只有y?2x或者y?3x，此时y的取值只能是：
y?2?672?1344，1344?2(672?0),2016?2(672?336)，或者y?3?672?2016；
这说明，这两个数已被挖去，不在集合X中； ……18'
若x?672，假若xy，只有y?2x，这种数y也已悉数被挖去，即y?X，因此X不是好集，这种a也不合要求．
综上所述，a的最大值为671． ……20'
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2016年全国高中数学联赛江西省预赛试题及解答
