江苏专用高考数学二轮复习专题二三角函数与平面向量第3讲平面向量练习文苏教版

所以 5(cos 0 cos 0+ sin 0 sin $ ) = 3‘ j5cos 即 5cos $ + 2 5sin

$ = 3\\l5cos $ ,

所以 cos $ = sin

n

又0 v$v —，所以$

13.已知向量a= (cos a , sin a ) , b= (cos x, sin x) , c = (sin x+ 2sin a , cos x

2cos a )，其中 0< a

n

(1)若a =—，求函数f(x) = b ? c的最小值及相应

x的值;

n

⑵若a与b的夹角为y，且a丄c,

求tan 2 a的值.

［解］(1)因为 b= (cos x, sin x), c = (sin x+ 2sin a , cos x+ 2cos a ) , a

所以 f (x) = b ? c

=cos xsin x + 2cos xsin a + sin xcos x + 2sin xcos a

=2sin xcos x + 2(sin x + cos x).

fn

\\

令 t = sin x+ cos x\\ 4

则 2sin xcos x = t2— 1，且一1

则 y = 12

+ “』2t — 1 t+=

黑-3，

—1

所以当t=—

_ 3 ，ymin= —

2，

此时 sin x + cos x =—孑, 即 2sin ix + nn

=—彳

因为 ^VXS,所以 nn

4<5 n

，

所以x+-4 = 7n，所以x =

11 n .

所以函数f(x)的最小值为一

n

⑵因为a与b的夹角为3,

3

所以 cos n

a ? b

= 3 =| acos | ?I a bcos |

x+ sin a sin x

=cos( x — a ).

-6 -

+

因为 0< a

因为a丄c, 所以 cos a (sin

x + 2sin a ) + sina (cos X+ 2cos a ) = 0,

所以 sin( x + a ) + 2sin 2 a = 0，即 sin

所以5sin 2

a = 0,所以 tan 2

~5

14. （2024 ?镇江期末）已知△ ABC勺面积为 S,且AB- AC? = 2S. (1)求 sin A

⑵ 若|AB = 3, I AB- AC = 2羽，求 sin B.

［解］(1) 因为△ ABC勺面积为S,且XB- AC= 2S, 所以 bccos A= 2x ^bcsin A, 所以 sin A= 2cos A,

所以 A为锐角，且 sin 2A+ cos 2A= sin 2A+ gsin 2A= |sin 2A= 1, 所以 sin A=36.

⑵ 设厶ABC中角 代B, C的对边分别为a, b, c,

因为 | AB = c= 3,

—X —X —X

—

| AB- AC = |CB = a= 2 3,

由正弦定理得 c a sinC= sin

A

3 =

sin C

3

-7 -

所以sin C=￥,又因为cva,贝U C为锐角,

所以sin B= sin

人+亍=sin

Acos

7t

21

［答案］21

+ cos Asin 4

-8 -