第3讲平面向量
专颍强化Q精练揺能 1 ?已知a与b是两个不共线向量，且向量
a+入b与一（b— 3a）共线，贝U入= _______
［解析］由题意知a+入b= k［ — (b — 3a)］, 所以p = k
［1= 3k, 解得
—
… i
［答案］—3
入=
—
2. （2019 ?江苏名校高三入学摸底 ）已知平面向量a, b是互相垂直的单位向量，且
c ?
a
=c ? b=— 1，则 | a — 2b+ 3c| = ________ .
［解析］设 a= (1 , 0), b= (0 , 1) , c = (x, y)，贝U c ? a= x =— 1, c ? b= y =— 1,所以
c= ( — 1, — 1)，所以 a— 2b + 3c = ( — 2, — 5)，所以 | a— 2b+ 3c| = \\i: (— 2) 2+(— 5) ?=冷29.
［答案］29
A
3. (2019 ?南京、盐城高三模拟)如图，在厶 ABC中, AB= AC= 3, cos / BAC= -, DC= 2BD,
3 则AD- BC的值为 ________
［解析］由DC= 2BD 得瓜D= 3(AC+ 2AB，又BC= AC— AB AB= AC= 3, cos/BAC= 1，所 以KD- BC= 3(AC+ 2AB ?(AC— AB = * — 9 + 3)=— 2.
［答案］—2
4.已知 | a| = 1, | b| = 6 , a ?( b — a) = 2,则向量 a 与 b 的夹角 0 = ［解析］因为 a ?( b — a) = a - b— a2 = 2 , 所以 a - b= 2+ a2 = 3.
3 1 a - b
0
= 1X6 = 2. 所以 cos = |a| ?Ib| =
n
所以向量a与b的夹角为丁.
n
［答案］y
5. （2019 ?无锡市高三模拟）已知平面向量 a , B满足| 3 | = 1 ,且a与3 — a的夹角 为120 ° ,贝U a的模的取值范围为 __________ .
-1 -
［解析］法一：由| 3 | = 1,且a与3 a的夹角为120 ° ,作向量OA a , AB= B — a,
_
则 0B= 3，在△ OAB中，/ OAB= 180°— 120 ° = 60
,OB= 1，则由正弦定理
_OB
sin 60
OA 得 OA= ^sin Z ABOE 0, sin / ABO
2
2
2
法二：设 | a | = U, | 3 — a | = V,由 | 3 | = | a + ( 3 — a )| = a + 2 a ?( 3 — a ) + ( 3
2 2 __________________________
得 U— 4( U — 1) >0,又
故 0 ［答 —a ) 2,得V2— UV + U2— 1 = 0,再由关于V的一元二次方程有解, 6. (2019 ?高三第一次调研测试 )在平面四边形 ABCDK AB= 1, DA= DB则AB- AC= 3, ￥即 0 AC- AD= 2,则|AC”2AD的最小值为 _______ . ［解析］以AB所在的直线为 x轴，AB的垂直平分线为 y轴建立平面直角坐标系，则 A —1, 0 , B2, 0 ?设 D(0 , b), C(m n)，则 AB- AC= (1 , 0) - 2 , n =耐2= 3，解得 m= I, XC- AD= (3 , n) - 2, b = |+ nb= 2,得 nb=1 .易得 XC> 2AD= (4 , n+ 2b)，则 | AC> 2AD = 16+( n+ 2b) 2> 16+ 8nb = 2 5 当且仅当 n = 2b时取等号，故| AC> 2AD的最小 值为2 5. ［答案］2 .5 7. (2019 ?南通市高三模拟)如图，在同一平面内，点 A位于两平行直线 m n的同侧， 且A到m n的距离分别为1, 3.点B, C分别在 m n上，|AB+ AC = 5 ,则AB?A(的最大值 是 . ［解析］以直线n为x轴，过点A且垂直于n的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐 标系 xOy,则 A(0 , 3)，设 C(c, 0), B(b , 2)，则 AB= (b , — 1) , AC= (c , — 3), 2 2 2 2 从而(b+ c) + ( — 4) = 5 ,即(b+ c) = 9 , _A _》 (b + c) 2 21 又AB?AC= bc+ 3W ------- )+ 3=—,当且仅当b= c时取等号. 4 4 -2 - 8. (2019 ?南京高三模拟)在凸四边形 ABCDK BD= 2，且AC- BD= 0, (AB+D(C ? (BC XD = 5,则四边形ABCD勺面积为 __________ —X —X —X —X —X —X —X —X —X —X —X —X —X —X ［解析］(AB+ DC ?( BO AD) = (CB- CA^ DC ?( DC- DB+ AD) = (D聊 AC) ?( AC- DB = AC- DB= 5, 即 AC - BD= 5.因为 BD= 2,所以 AC= 3, 1 1 所以四边形 ABCD勺面积为qACx BD=二x 2X 3= 3. ［答案］3 9. (2019 ?江苏省高考名校联考信息卷 (一))如图，点A, B, C在半径为5的圆O上，E 是OA的中点, AB= 8, AC= 6, CE= xAB^ yAC( x, y是实数）, 则 ----- 的值是 x — y ［解析］连结BC根据题意，可知 AB+ AC= 102,又圆O的半径为5,则直径是10,所以 BC恰好是圆 o的直径，所以 ABL ACCE= 2( COF CA = *CA^CB=舟陥4( CA^AB = 4AB-|XC 此时 x=1, y=- 4, x-y=4- (-4) = 1.又XE= 4(ACFAB , CE- AE= (￡AB-|AC) - 4(ACFAB) 1 1 弋 3 X 11 亠尿 AE 11 --=1(1AB-4AC) =/故 C—孑=\ ［答案］-* 10. （2019 ?苏锡常镇四市高三调研 ）在平面直角坐标系 xOy中，设点 A , 0）,巳0 , 1）, AE C(a, b) , Qc, d)，若不等式 6D > (m— 2) OC- ODF m(OC- 6B ?(Ob- 3A 对任意实数 a, b, c, d都成立，则实数 m的最大值是 _________ . ［解析］原不等式可化为(a— c)2+ ( b- d)2>( m-2) ?( ac+ bd) + mbc 即 a2+ b2+ c2+ d2 — mjac+ bd+ bc) >0,整理成关于实数 a 的不等式为 a2-mca^ b2 + c2 + d2- mbd- mbo0,此 式恒成立， 从而 △ 1 = nV— 4( b2 + c2 + d2 — mbc— mbcw0,再整理成关于实数 d的不等式为d2 1 f 1 \\ —mbd+ b2 + c2— mb(—~mic2> 0，从而 △ 2= nV — 4ib2 + c2— mbc-;mic2 w 0，再整理成关于实 4 I 4丿 数 b 的不等式为(4 — ml) b2— 4mcb^ 4c2— mic2> 0, -3 - 4— m>0 从而△ 3= 16mic2— 4 （4—吊） 2—mc2)wo (4 c -4 - 解得1 一-J5 w nK— 1+」5,所以m的最大值是 5 — 1. ［答案］5— 1 11. (2019 ?江苏省高考名校联考 (一))已知在△ ABC中，角A B C所对的边分别为 a b、c，若向量 mi= (cos A, cos E) , n= (b+ 2c, a)，且 mL n. (1) 求角A的大小； (2) 若a= 4 3, b+ c= 8,求AC边上的高h的值. ［解］(1)因为ml n,所以m- n = 0, 所以(b+ 2c)cos A+ acos B= 0, 由正弦定理得 cos Asin B+ 2cos Asin C+ cos Bsin A= 0, 即 sin( A+ B) + 2cos Asin C= 0, 因为 A+ B= n — C,所以 sin( A+ B) = sin C,所以 sin C+ 2cos Asin C= 0. 又 C� (0 , n )，所以 sin C> 0,所以 cos A= — 1. 2 n 因为A (0 , n )，所以A= -3 3 2 2 2 cos A=- 1 b + c — a 2= 2bc , ⑵由b+c=8, a= 4 3, 解得b= c=4. 厂 1 1 又 SA A=尹? AC 所以 h= 2 3. 12. =(2019 ?苏州期末检测)已知向量a= (sin 0 , 2) , b= (cos 0 , 1)，且a, b共线, 其中0 � o, n. (1)求 tan 0+nn 的值; 5cos ( 0 — $ ) = 3 5cos n ⑵ 若$ , 0 v$v~2，求 $ 的值. ［解］(1)因为a//b ,所以sin 0 — 2cos 0 = 0，即 tan 0 = 2. 所以tan n = 1 + tan 0 1+ 2= — 3. 0 + 4 = 1 — tan—0 1 — 2 ⑵由(1)知 tan 0 = 2,又 0 � 0,专，所以 sin 0 =纟^, cos 0 =中, 因为 5cos( 0 — ^ ) = 3 . 5cos $ , -5 -
江苏专用高考数学二轮复习专题二三角函数与平面向量第3讲平面向量练习文苏教版
