[基础达标]
1.椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上||，长轴长是短轴长的两倍||，则m的值为________． y2x2?1?11解析：把椭圆的方程化为标准形式＋＝1?m>1?||，故a2＝||，b2＝1||，所以a＝
11mmm
11
||，b＝1||，2＝4||，解得||，m＝||，符合题意．
m41答案： 4
1
2.已知椭圆的中心在原点||，焦点在x轴上||，且长轴长为12||，离心率为||，则椭圆的方
3
程是________．
c1
解析：由题意||，知2a＝12||，＝||，故a＝6||，c＝2||，
a3
x2y2
222
∴b＝a－c＝32||，故所求椭圆的方程为＋＝1.
3632
22xy
答案：＋＝1
3632
3
3.已知椭圆的短半轴长为1||，离心率e满足0 2 2a2－b2a2－1a2－13c 解析：由e2＝2＝2＝2||，得0<2≤||，解得1 aaaa4 即长轴的最大值是4. 答案：4 4.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列||，则该椭圆的离心率是________． 解析：由题意知2b＝a＋c||，又b2＝a2－c2||， ∴4(a2－c2)＝a2＋c2＋2ac. ∴3a2－2ac－5c2＝0||，∴5c2＋2ac－3a2＝0. 3 ∴5e2＋2e－3＝0||，∴e＝或e＝－1(舍去)． 5 3答案： 5 x2y21 5.若椭圆＋＝1的离心率为||，则m的值为________． 16m3 m1161128 解析：由已知得1－＝或1－＝||，∴m＝或18. 169m99 128 答案：或18 9 →→6.已知F1、F2是椭圆的两个焦点||，满足MF1·MF2＝0的点M总在椭圆内部||，则椭圆 离心率的取值范围是________． 解析：结合图形(图略)||，转化为c 2? 2?? x2y2 7.设P为椭圆2＋2＝1(a>b>0)上一点||，F1||，F2是椭圆的两个焦点||，如果∠PF1F2＝ ab答案：?0， 第1页/共5页 75°||，∠PF2F1＝15°||，则椭圆的离心率是________． 解析：在Rt△PF1F2中||，由正弦定理||， PF1PF2F1F2得＝＝＝2c||， sin 15°sin 75°sin 90° PF1＋PF2 ∴＝2c. sin 15°＋sin 75°由椭圆的定义||，知PF1＋PF2＝2a. c16 代入上式||，有e＝＝＝. asin 75°＋sin 15°3答案：6 3 x2y2 8.在平面直角坐标系xOy中||，以椭圆2＋2＝1(a>b>0)上的一点A为圆心的圆与x轴相 ab 切于椭圆的一个焦点||，与y轴相交于B、C两点||，若△ABC是锐角三角形||，则该椭圆的率心率的取值范围是________． πb2Ac 解析：由题意得||，圆半径r＝||，因为△ABC是锐角三角形||，所以cos 0>cos＝>cos a2r4 5－1?2c2ac2e?6－2 ||，即<<1||，所以<22<1||，即<<1||，解得e∈??. 2r2a－c21－e2?2，2?答案：? 5－1??6－2 ? ?2，2?9.已知椭圆的中心在原点||，对称轴为坐标轴||，焦点在x轴上||，短轴的一个顶点B与两2π 个焦点F1||，F2组成的三角形的周长为4＋23||，且∠F1BF2＝||，求椭圆的标准方程． 3 π3 解：设长轴长为2a||，焦距为2c||，则在△F2OB中||，由∠F2BO＝得：c＝a||，所以 32 △F2BF1的周长为2a＋2c＝2a＋3a＝4＋23||，∴a＝2||，c＝3||，∴b2＝1；故所求椭圆的 x22 标准方程为＋y＝1. 4 x2 10.已知椭圆C1：＋y2＝1||，椭圆C2以C1的长轴为短轴||，且与C1有相同的离心率． 4 (1)求椭圆C2的方程； (2)设O为坐标原点||，点A||，B分别在椭圆C1和C2上||， →→ OB＝2OA||，求直线AB的方程． y2x2 解：(1)由已知可设椭圆C2的方程为2＋＝1(a>2)||， a4 a2－433 其离心率为||，故＝||，则a＝4||， 2a2 y2x2 故椭圆C2的方程为＋＝1. 164 →→ (2)法一：A||，B两点的坐标分别记为(xA||，yA)||，(xB||，yB)||，由OB＝2OA及(1)知||，O||，A||，B三点共线且点A||，B不在y轴上||，因此可设直线AB的方程为y＝kx. x22 将y＝kx代入＋y＝1中||，得(1＋4k2)x2＝4||， 4 第2页/共5页 4 所以x2||， A＝ 1＋4k2 y2x2 将y＝kx代入＋＝1中||，得(4＋k2)x2＝16||， 16416 所以x2||， B＝ 4＋k2 1616→→2 又由OB＝2OA||，得x2＝||， B＝4xA||，即 4＋k21＋4k2 解得k＝±1||，故直线AB的方程为y＝x或y＝－x. 法二：A||，B两点的坐标分别记为(xA||，yA)||，(xB||，yB)||， →→ 由OB＝2OA及(1)知||，O||，A||，B三点共线且点A||，B不在y轴上||，因此可设直线AB的方程为y＝kx. x22 将y＝kx代入＋y＝1中||，得(1＋4k2)x2＝4||， 44 所以x2||， A＝ 1＋4k2 1616k2→→22 由OB＝2OA||，得xB＝||，yB＝||， 1＋4k21＋4k2 224＋k2yx2 将x2＋＝1中||，得＝1||，即4＋k2＝1＋4k2||，解得k＝±1||，故直线B||，yB代入1641＋4k2 AB的方程为y＝x或y＝－x. [能力提升] x2y2 1.过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A||，B两点||，O为坐标 54 原点||，则△OAB的面积为________． x2y2 解析：椭圆＋＝1的右焦点F2(1||，0)||，故直线AB的方程y＝2(x－1)||，由 54 x2y2??5＋4＝1?||，消去y||，整理得3x2－5x＝0||，设A(x||，y)||，B(x||，y)||，x ??y＝2（x－1） ||， 112212 54?5 则x1||，x2是方程3x2－5x＝0的两个实根||，解得x1＝0||，x2＝||，故A(0||，－2)||，B??3，3?3415 |－2|＋?×1＝. 故S△OAB＝S△OFA＋S△OFB＝×?3?2?3 5答案： 3 x2y23a 2.设F1、F2是椭圆E：2＋2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点||，P为直线x＝上一点||，△ ab2 F2PF1是底角为30°的等腰三角形||，则E的离心率为________． 解析：由题意||，知∠F2F1P＝∠F2PF1＝30°||， ∴∠PF2x＝60°. ?3a－c?＝3a－2c. ∴PF2＝2×?2? ∵F1F2＝2c||，F1F2＝PF2||， 第3页/共5页 c3 ∴3a－2c＝2c||，∴e＝＝. a4 3答案： 4x2y2 3.椭圆＋＝1的焦点为F1||，F2||，点P为其上的动点||，当∠F1PF2为钝角时||，求点 94 P的横坐标的取值范围． 解：设点P的坐标为(x||，y)||，F1(－5||，0)||，F2(5||，0)||， 在三角形PF1F2中||， 2＋PF2－FF2PF1212 由余弦定理得：cos ∠F1PF2＝||， 2PF1·PF2 因为PF1＋PF2＝6||，F1F2＝25||， 36－2PF1·PF2－2016161 故cos ∠F1PF2＝＝－1≥－1＝－||， 92PF1·PF22PF1·PF2PF1＋PF2?2? 2??2??1 当且仅当PF1＝PF2时取等号||，即－≤cos ∠F1PF2≤1. 9 1 所以当－≤cos ∠F1PF2<0时||，∠F1PF2为钝角． 9→→→ 令PF1·PF2＝0||，因为PF1＝(－5－x||，－y)||， → PF2＝(5－x||，－y)||，则x2－5＋y2＝0||， 935 y2＝－x2＋5||，代入椭圆方程得：x2＝||，x＝±||， 553535 所以点P的横坐标的取值范围是－ x2y2 4.如图||，在平面直角坐标系xOy中||，椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－ ab3 c||，0)、F2(c||，0)．已知点(1||，e)和?e，?都在椭圆上||，其中e为椭圆的离心率． 2?? (1)求椭圆的方程； (2)设A||，B是椭圆上位于x轴上方的两点||，且直线AF1与直线BF2平行||，AF2与BF1 交于点P. 6 ||，求直线AF1的斜率； 2 (ⅱ)求证：PF1＋PF2是定值． c 解：(1)由题设知a2＝b2＋c2||，e＝. a 1c2 由点(1||，e)在椭圆上||，得2＋22＝1||， aab 解得b2＝1||，于是c2＝a2－1. (ⅰ)若AF1－BF2＝a－13e233??又点e，在椭圆上||，所以2＋2＝1||，即4＋＝1||，解得a2＝2. a4ba42?? 2 x22 因此||，所求椭圆的方程是＋y＝1. 2 (2)由(1)知F1(－1||，0)||，F2(1||，0)||，又直线AF1与BF2平行||，所以可设直线AF1的方程为x＋1＝my||，直线BF2的方程为x－1＝my.设A(x1||，y1)||，B(x2||，y2)||，y1>0||，y2>0. 第4页/共5页 x1??2＋y21＝1，由?得(m2＋2)y21－2my1－1＝0||， ??x1＋1＝my1，m＋2m2＋2解得y1＝||， m2＋2故AF1＝ （x1＋1）2＋（y1－0）2＝ （my1）2＋y21＝ 2（m2＋1）＋mm2＋1 .① m2＋2 2 2（m2＋1）－mm2＋1 同理||，BF2＝.② m2＋22mm2＋1 (ⅰ)由①②得AF1－BF2＝||， m2＋2 2mm2＋16解＝得m2＝2||，注意到m>0||，故m＝2. 22m＋212所以直线AF1的斜率为＝. m2 PBBF2 (ⅱ)证明：因为直线AF1与BF2平行||，所以＝||， PF1AF1 PB＋PF1BF2＋AF1 于是＝||， PF1AF1 AF1 故PF1＝BF1. AF1＋BF2由B点在椭圆上知BF1＋BF2＝22||， AF1 从而PF1＝(22－BF2)． AF1＋BF2 BF2 同理||，PF2＝(22－AF1)． AF1＋BF2 2AF1·BF2AF1BF2 因此PF1＋PF2＝(22－BF2)＋·(22－AF1)＝22－. AF1＋BF2AF1＋BF2AF1＋BF222（m2＋1） 由①②得||，AF1＋BF2＝||， m2＋2m2＋1 AF1·BF2＝2||， m＋2∴PF1＋PF2＝22－ 23 ＝2||，∴PF1＋PF2是定值． 22 第5页/共5页
数学苏教版选修2-1作业：第2章2.2.2 椭圆的几何性质
