《全国初中数学竞赛》二次函数历届考题
11（2008）、已知一次函数y1?2x，二次函数y2?x2?1，是否存在二次函数，且对于任意实数x的同一个值，这三y3?ax2?bx?c，其图象经过点（－5,2）
个函数所对应的函数值y1,y2，y3，都有y1?y2?y3成立？若存在，求出函数y3的解析式；若不存在，请说明理由。
解：存在满足条件的二次函数。
因为y1?y2?2x?(x2?1)??x2?2x?1??(x?1)2?0，所以，当自变量x取任意实数时，y1?y2均成立。
由已知，二次函数y3?ax2?bx?c的图象经过点（－5,2），得
25a?5b?c?2 ①
当x?1时，有y1?y2?2，y3?a?b?c
由于对于自变量x取任实数时，y1?y3?y2均成立，所以有2≤a?b?c≤2， 故 a?b?c?2 ②
由①，②，得b?4a，c?2?5a，所以y3?ax2?4ax?(2?5a). ……5分 当y1?y3时，有2x?ax2?4ax?(2?5a)，即ax2?(4a?2)x?(2?5a)?0 所以，二次函数y?ax2?(4a?2)x?(2?5a)对于一切实数x，函数值大于或等于零，故
?a0,?a01a? 即 所以 ??223?(3a?1)?0,?(4a?2)?4a(2?5a)?0当y3?y2时，有ax2?4ax?(2?5a)?x2?1，即(1?a)x2?4ax?(5a?1)?0， 所以，二次函数y?(1?a)x2?4ax?(5a?1)对于一切实数x，函数值大于或等于零，故
?a1,?1?a0,1a?即所以 ??223?(?4a)?4(1?a)(5a?1)?0,?(3a?1)?0,141综上，a?,b?4a?,c?2?5a?
333141所以，存在二次函数y3?x2?x?，在实数范围内，对于x的同一个值，
333都有y1?y3?y2成立。 ……………15分
11（2009）．函数y?x2?(2k?1)x?k2的图象与x轴的两个交点是否都在直线x?1的右侧？若是，请说明理由；若不一定是，请求出两个交点都在直线x?1的右侧时k的取值范围．
解：不一定，例如，当k＝0时，函数的图象与x轴的交点为（0，0）和 （1，0），不都在直线x?1的右侧． ………………5分
设函数与x轴的两交点的横坐标为x1,x2，则x1?x2??(2k?1),xx12?k且仅当满足如下条件
??≥0,? ?(x1?1)?(x2?1)?0, ………………10分
?(x?1)(x?1)?0?122，当
时，抛物线与x轴的两交点都在直线x?1的右侧．
?(2k?1)2?4k2≥0,?由 ??2k?1?0,
?k2?2k?0,?1?k≤,?4?1?解之，得 ?k??, ………………15分
2??k??2或k?0.??所以当k??2时，抛物线与x轴的两交点在直线x?1的右侧．
………………20分
12（2010）．如图，抛物线y?ax?bx（a?0）与双曲线y?2k相交于点A，B. 已知点Ax的坐标为（1，4），点B在第三象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）.
（1）求实数a，b，k的值；
（2）过抛物线上点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一
点C，求所有满足△EOC∽△AOB的点E的坐标.
k（第12题） 上， x4所以k=4. 故双曲线的函数表达式为y?.
x4设点B（t，），t?0，AB所在直线的函数表达式为y?mx?n，则有
t解：（1）因为点A（1，4）在双曲线y??4?m?n，44(t?1)?m??n? 解得，. ?4tt?mt?n，??t于是，直线AB与y轴的交点坐标为?0,??4(t?1)??，故 t?1（4t?1）S?AOB???1?t??3，整理得2t2?3t?2?0，
2t1解得t??2，或t＝（舍去）．所以点B的坐标为（?2，?2）．
2因为点A，B都在抛物线y?ax2?bx（a?0）上，所以
?a?b?4，?a?1，
解得 …………（10分） ??
?4a?2b??2，?b?3.
（2）如图，因为AC∥x轴，所以C（?4，4），于是CO＝42. 又BO=22，所以
2CO?2. BO设抛物线y?ax?bx（a?0）与x轴负半轴相交于点D， 则点D的坐标为（?3，0）.
因为∠COD＝∠BOD＝45?，所以∠COB=90?.
（第12题） B?(?2，2)是CO的（i）将△BOA绕点O顺时针旋转90?，得到△B?OA1.这时，点?1）. 中点，点A1的坐标为（4，
延长OA1到点E1，使得OE1=2OA1，这时点E1（8，?2）是符合条件的点.
（ii）作△BOA关于x轴的对称图形△B?OA2，得到点A2（1，?4）；延长OA2到点E2，使得OE2＝2OA2，这时点E２（2，?8）是符合条件的点．
所以，点E的坐标是（8，?2），或（2，?8）. …………（20分）
13（2011）．点A为y轴正半轴上一点，A，B两点关于x轴对称，过点A任作直
22y?x于P，Q两点. 线交抛物线
3（1）求证：∠ABP=∠ABQ；
（2）若点A的坐标为（0，1），且∠PBQ=60o，试求所有满足条件的直线PQ的函数解析式.
Q作y轴的垂线，垂足分别为C， D. 解：（1）如图，分别过点P， 设点A的坐标为（0，t），则点B的坐标为（0，-t）. 设直线PQ的函数解析式为y?kx?t,并设P，Q的坐标分别为 ,.由 （xP，yP）（xQ，yQ）?y?kx?t，?22 ?y?x，?3?得 x2?kx?t?0， 于是 xPxQ??t，即 t??xPxQ.
322323（第13题） 222222xP?tx?xxxP(xP?xQ)PPQBCyP?t3x333??于是 ????P.
2222BDyQ?t2x2?txQxQ?xPxQxQ(xQ?xP)Q3333又因为
xPCBCPC???P，所以. BDQDQDxQ 因为∠BCP?∠BDQ?90?，所以△BCP∽△BDQ， 故∠ABP=∠ABQ.
（2） 设PC?a，DQ?b，不妨设a≥b>0，由（1）可知
∠ABP=∠ABQ?30?，BC=3a，BD=3b，
所以 AC=3a?2，AD=2?3b.
因为PC∥DQ，所以△ACP∽△ADQ. 于是
a3a?2PCAC?，即?，
b2?3bDQAD所以a?b?3ab．
33333由（1）中xPxQ??t，即?ab??，所以ab?，a?b? ，2222于是可求得a?2b?3. 将b?3312代入y?x2，得到点Q的坐标（，）.
22323. 3再将点Q的坐标代入y?kx?1，求得k??所以直线PQ的函数解析式为y??
3x?1. 322y??x?3x?4y?x?3x?4相交于11（2007）、已知抛物线C1：和抛物线C2：
A，B两点。点P在抛物线C1上，且位于点A和点B之间；点Q在抛物线C2上，也位于点A和点B之间。
（1）求线段AB的长； 410 （2）当PQ∥y轴时，求PQ长度的最大值。 t=0时，PQ=8
全国初中数学竞赛二次函数问题
