，. ，∴X 的分布列为： X 0 1 2 3 P ∴ 【点睛】本题主要考查排列组合的应用，考查随机变量的分布列和数学期望，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
16.某工厂有甲乙两个车间，每个车间各有3台机器．甲车间每台机器每天发生故障的概率均为，乙车间3台机器每天发生概率分别为．若一天内同一车间的机器都发生故障可获利2万元，恰有一台机器发生
故障仍可获利1万元，恰有两台机器发生故障的利润为0万元，三台机器发生故障要亏损3万元． （1）求乙车间每天机器发生故障的台数的分布列；
（2）由于节能减排，甲乙两个车间必须停产一个，以工厂获得利润的期望值为决策依据，你认为哪个车间停产比较合理．
【答案】(1) 见解析(2) 甲车间停产比较合理． 【解析】 【分析】
（1）乙车间每天机器发生故障的台数为，则的可能取值为 0，1，2，3,再求对应的概率，写出乙车间每天机器发生故障的台数的分布列；（2）先分别计算出两个车间利润的期望再比较得解. 【详解】解：（1）乙车间每天机器发生故障的台数为，则的可能取值为 0，1，2，3； 且，
，
∴乙车间每天机器发生故障的台数的分布列； 0 1 2 3 P
（2）设甲车间每台机器每天发生故障的台数，获得的利润为X，则 ∴由（1）得∵，∴甲车间停产比较合理．
(k=0,1,2,3)；
, ，
，
【点睛】本题主要考查随机变量的分布列和数学期望的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
17.已知函数（1）求实数（2）求函数【答案】（1）【解析】 【分析】
（1）求出函数的导数，通过切线方程列出方程即可求实数a，b的值；（2）求出函数的导数，判断函数的单调性，然后求解函数的极值，然后求函数f（x）在上的最大值和最小值．
的值； 在， 上的最大值和最小值（其中是自然对数的底数）.
；（2）最大值为，最小值为. 在点处的切线方程是．
【详解】（1）因为则函数在点，，
，，
处的切线方程为：，即，. ，函数，∴在上单调递减，在上单调递增，
．
，且. ，最小值为 ． 的定义域为，，
由题意得（2）由（1）得∵∴故∴又∴在在在在， ，
上单调递增．
上单调递减，在上的最小值为，上的最大值为上的最大值为综上，【点睛】本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力,准确计算是关键，是中档题.
18.已知函数（1）求曲线（2）讨论（3）设值范围 【答案】（Ⅰ）【解析】 【分析】 (Ⅰ)由题意可得(Ⅱ)由可得，据此确定切线的斜率，结合切点坐标确定切线方程即可；
，据此分类讨论确定函数的单调性即可；
； （Ⅱ）见解析； （Ⅲ）. 在点的单调性；
，当时，对任意的，存在，使得，求实数 b的取
．
处的切线方程；
(Ⅲ)由题意可得【详解】(Ⅰ)因为所以曲线(Ⅱ)令当此时当此时(Ⅲ)当时,在时,在时,， ,且在点，
，则原问题等价于，
，据此求解实数b取值范围即可.
处的切线方程为：，所以，
. 上单调递减,在，
上单调递增,在在,有， ,所以,使， ，
上单调递增；
上单调递减.
上单调递增，
上单调递减,在，
所以对任意又已知存在使即存在即即因为当所以的，过作垂直于轴的直线交椭圆于，
，
,即实数取值范围是. . 所以实数的取值范围是【点睛】本题主要考查导数研究函数的单调性，利用导数求解切线方程，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
19.已知椭圆: 的左右焦点分别 两点，满足.
（1）求椭圆的离心率. （2）交于是椭圆短轴的两个端点，设点是椭圆上一点（异于椭圆的顶点），直线两点，为坐标原点，若；（2） ，求椭圆的方程.
分别与轴相【答案】（1）【解析】 【分析】
（1）在椭圆的方程中，令可得点A的纵坐标，即，然后根据可求得离心率．（2）设
，于是可得直线MP和NP的方程，进而得到点R和点Q的横坐标，然后根据可得，于是，故得，从而得到椭圆的方程．
【详解】（1）由题意得，点的横坐标为， 又点在椭圆上， ∴，
解得∴∴整理得解得∴（2）设或． ， ， ， ， （舍去），
， ，
则直线MP的方程为令，得，即点R的横坐标为．
同理可得直线NP的方程为，
令得到Q点的横坐标为 ∴，
∴∴ ，
，
∴椭圆的方程为．
【点睛】本题主要考查椭圆离心率和椭圆标准方程的求法，考查计算能力和转化能力．解题的关键是根据题意及椭圆中基本量的关系得到所求的结果．另外，由于椭圆中的计算比较复杂，所以在运算中要注意计算的技巧和运算的准确性．
天津市第一中学2024-2024学年高二下学期期中考试数学试题（解析版）
