苏教版初三下册数学期末试卷
一、精心选一选(每小题3分，共30分)
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，sinA＝13，则BC的长为( B )
A．45 B．5 C.15 D.145
2．已知⊙O的半径为1，圆心O到直线l的距离为2，过l上任一点A作⊙O的切线，切点为B，则线段AB长度的最小值为( C ) A．1 B.2 C.3 D．2
3．如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB，CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC＝150°，BC的长是8 m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是( B ) A.833 m B．4 m C．43 m D．8 m
,第3题图) ,第4题图) ,第5题图) ,第6题图) 4．如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别是A，B，如果OP＝4，PA＝23，那么∠APB等于( D ) A．90° B．100° C．110° D．60°
5．函数y＝－x2＋2(m－1)x＋m＋1的图象如图，它与x轴交于A，B两点，线段OA与OB的比为1∶3，则m的值为( D ) A.13或2 B.13 C．1 D．2
6．如图，一根5 m长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A(羊只能在草地上活动)那么小羊A在草地上的活动区域面积是( D )
A.1712π m2 B.176π m2 C.254π m2 D.7712π m2
7．某商人将单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，已知这种商品每提升2元，其销量就要减少10件，为了使每天所赚利润最多，该商人应将销售价(为偶数)提升( A ) A．8元或10元 B．12元 C．8元 D．10元
8．如图，在△ABC中，cosB＝22，sinC＝35，AC＝5，则△ABC的面积是( A )
A.212 B．12 C．14 D．21
,第8题图) ,第9题图) ,第10题图)
9．如图，射线QN与等边△ABC的两边AB，BC分别交于点M，N，且AC∥QN，AM＝MB＝2 cm，QM＝4 cm.动点P从Q出发，沿射线QN以每秒1 cm 的速度向右移动，经过t秒，以点P为圆心，3cm为半径与△ABC的边相切(切点在边上)，则t(单位：秒)能够取的一切值为( D )
A．t＝2 B．3≤t≤7
C．t＝8 D．t＝2或3≤t≤7或t＝8
10．如图，点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点，在以下判断中，不准确的是( C )
A．当弦PB最长时，△APC是等腰三角形 B．当△APC是等腰三角形时，PO⊥AC
C．当PO⊥AC时，∠ACP＝30° D．当∠ACP＝30°时，△BPC是直角三角形
二、细心填一填(每小题3分，共24分)
11．已知锐角A满足关系式2sin2A－3sinA＋1＝0，则sinA的值为__12__．
12．若抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是A(2，1)，且经过点B(1，0)，则抛物线的函数表达式为__y＝－x2＋4x－3__．
13．(2015绍兴)在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，点P在以C为圆心，5为半径的圆上，连接PA，PB.若PB＝4，则PA的长为__3或73__．
14．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为BC︵上一点，若∠CEA＝28°，则∠ABD＝__28°__．
,第14题图) ,第15题图) ,第16题图) ,第17题图) ,第18题图)
15．如图，已知AB是⊙O的直径，BC为弦，∠ABC＝30°，过圆心O作OD⊥BC交弧BC于点D，连接DC，则∠DCB＝__30°__．
16．如图，⊙A，⊙B，⊙C两两不相交，且半径都是0.5 cm，则图中三个扇形(即三个阴影部分)的面积之和为__π8cm2__．
17．如图，把抛物线y＝x2沿直线y＝x平移2个单位后，其顶点在直线上的A处，则平移后的抛物线表达式是__y＝(x－1)2＋1__． 18．(2015张家界)如图，AB，CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB＝8，CD＝6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA＋PC的最小值为__72__． 三、用心做一做(共66分) 19．(8分)计算：
(1)sin45°＋cos60°3－2cos60°－sin60°(1－cos30°)； (2)cos30°sin60°－cos45°－（2－tan60°）2＋tan45°. 解：1＋24－32 解：2＋6＋3
20.(8分)如图，一大桥的桥拱为抛物线形，跨度AB＝50米，拱高(即顶点C到AB的距离)为20米，求桥拱所在抛物线的表达式．
解：y＝－4125(x－25)2
21．(8分)(2015黄石)如图所示，体育场内一看台与地面所成夹角为30°，看台最低点A到点B的距离为103米，A，B两点正前方有垂直于地面的旗杆DE，在A，B两点处用仪器测量旗杆顶端E的仰角分别为60°和15°(仰角即视线与水平线的夹角)． (1)求AE的长；
(2)已知旗杆上有一面旗在离地面1米的F点处，这面旗以0.5米/秒的速度匀速上升，求这面旗到达旗杆顶端需要多少秒？
解：(1)∵BG∥CD，∴∠GBA＝∠BAC＝30°.又∠GBE＝15°，∴∠ABE＝45°.∵∠EAD＝90°，∴∠AEB＝45°，∴AB＝AE＝103 (2)在Rt△ADE中，∵∠EDA＝90°，∠EAD＝60°，AE＝103，∴DE＝15.又DF＝1，∴FE＝14.∴t＝140.5＝28(秒)．故这面旗到达旗杆顶端需要28秒
22．(10分)如图，P为正比例函数y＝32x图象上的一个动点，⊙P的半径为3，设点P的坐标为(x，y)． (1)求⊙P与直线x＝2相切时点P的坐标；
(2)请直接写出⊙P与直线x＝2相交、相离时x的取值范围．
解：(1)过P作直线x＝2的垂线，垂足为A.当点P在直线x＝2右侧时，AP＝x－2＝3，得x＝5，∴P5，152；当点P在直线x＝2左侧时，PA＝2－x＝3，得x＝－1，∴P－1，－32，∴当⊙P与直线x＝2相切时，点P的坐标为5，152或－1，－32 (2)当－15时，⊙P与直线x＝2相离
23．(8分)(2015武汉)如图，AB是⊙O的直径，∠ABT＝45°，AT＝AB. (1)求证：AT是⊙O的切线．
(2)连接OT交⊙O于点C，连接AC，求tan∠TAC的值．
解：(1)∵AB＝AT，∴∠ABT＝∠ATB＝45°，∴∠BAT＝90°，即AT为⊙O的切线 (2)如图，过点C作CD⊥AB于点D.则∠TAC＝∠ACD，tan∠TOA＝ATAO＝CDOD＝2，设OD＝x，则CD＝2x，OC＝5x＝OA，∵AD＝AO－OD＝(5－1)x，
∴tan∠TAC＝tan∠ACD＝ADCD＝（5－1）x2x＝5－12
24.(12分)某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场实行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降价1元，每天就能够多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．
(1)求出每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数表达式； (2)当销售单价为多少元时，每天的销售利润？利润是多少？
(3)如果该企业要使每天的销售利润不低于4 000元，且每天的总成本不超过7 000元，那么销售单价应控制在什么范围内？(每天的总成本＝每件的成本×每天的销售量)
解：(1)y＝(x－50)[50＋5(100－x)]＝(x－50)(－5x＋550)＝－5x2＋800x－27 500 (2)y＝－5x2＋800x－27 500＝－5(x－80)2＋4
500.∵－5＜0，∴抛物线开口向下．∵50≤x≤100，对称轴是直线x＝80，∴当x＝80时，y＝4 500.∴当销售单价为80元时，每天的销售利润，利润是4 500元 (3)当y＝4 000时，－5(x－80)2＋4 500＝4 000，解得x1＝70，x2＝90.∴当70≤x≤90时，每天的销售利润不低于4 000元．由每天的总成本不超过7 000元，得50(－5x＋550)≤7 000，解得x≥82，∴82≤x≤90(满足50≤x≤100)，∴销售单价应该控制在82元至90元之间
25．(12分)(2015丽水)某乒乓球馆使用发球机实行铺助训练，出球口在桌面中线端点A处的正上方，假设每次发出的乒乓球的运动路线固定不变，且落在中线上，在乒乓球运行时，设乒乓球与端点A的水
平距离为x(米)，与桌面的高度为y(米)，运行时间为t(秒)，经多次测试后，得到如下部分数据：
t(秒) 0 0.16 0.2 0.4 0.6 0.64 0.8 … x(米) 0 0.4 0.5 1 1.5 0.6 2 …
y(米) 0.25 0.378 0.4 0.45 0.4 0.378 0.25 … (1)当t为何值时，乒乓球达到高度？
(2)乒乓球落在桌面时，与端点A的水平距离是多少？ (3)乒乓球落在桌面上弹起后，y与x满足y＝a(x－3)2＋k. ①用含a的代数式表示k；
②球网高度为0.14米，球桌长(1.4×2)米．若球弹起后，恰好有的击球点，能够将球沿直线扣杀到点A，求a的值．
解：以点A为原点，以桌面中线为x轴，乒乓球水平运动方向为正方向，建立平面直角坐标系．(1)由表格中的数据，可得当t为0.4秒时，乒乓球达到高度 (2)由表格中数据，可画出y关于x的图象，根据图象的形状，可判断y是x的二次函数．可设y＝a(x－1)2＋0.45.将(0，0.25)代入，可得a＝－15，∴y＝－15(x－1)2＋0.45.当y＝0时，x1＝52，x2＝－12(舍去)，即乒乓球与端点A的水平距离是52米
(3)①由(2)得乒乓球落在桌面上时，对应的点为(52，0)．代入y＝a(x－3)2＋k，得(52－3)2a＋k＝0，化简整理，得k＝－14a.②由题意知，扣杀路线在直线y＝110x上．由①得y＝a(x－3)2－14a.令a(x－3)2－14a＝110x，整理，得20ax2－(120a＋2)x＋175a＝0.当Δ＝(120a＋2)2－4×20a×175a＝0时符合题意，解得a1＝－6＋3510，a2＝－6－3510.当a1＝－6＋3510时，求得x＝－352，不符合题意，舍去；当a2＝－6－3510时，求得x＝352，符合题意．答：当a＝ 时，能恰好将球沿直线扣杀到点A
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