4-2 平面向量的数量积及应用举例
课时规范练
(授课提示：对应学生用书第263页)
A组 基础对点练
1．(2018·黑龙江模拟)若向量a，b满足|a|＝1，(a＋b)⊥a，(3a＋b)⊥b，则|b|＝( B ) A．3 C．1
B．3 D．
3
3
2．(2015·高考新课标全国卷Ⅱ)向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝( C ) A．－1 C．1
B．0 D．2
3．(2017·天津模拟)设向量a，b满足|a＋b|＝10，|a－b|＝6，则a·b＝( A ) A．1 C．3
B．2 D．5
4．(2018·赤峰期末)e1，e2是夹角为90°的单位向量，则a＝e1＋3e2，b＝－3e2的夹角为( D ) A．30° C．120°
B．60° D．150°
22解析：∵e1，e2是夹角为90°的单位向量，∴e1＝e2＝1，e1·e2＝0， a·b＝(e1＋3e2)·(－3e2)＝－3e1·e2－3e22＝0－3＝－3，|a|＝|b|＝3. 设a＝e1＋3e2，b＝－3e2的夹角为θ，则cos θ＝故选D.
5．设a，b是非零向量，“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的( A ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
e1＋3e22＝2，
a·b－33
＝＝－，∴θ＝150°，
|a||b|2×32
6．(2017·沈阳教学质量监测)已知两个非零向量a，b满足a·(a－b)＝0，且2|a|＝|b|，则〈a，b〉＝( B ) A．30° C．120°
B．60° D．150°
1
7．(2018·江西模拟)已知向量a，b的夹角为120°，且a＝(1，－3)，|b|＝1，则|a＋
b|等于( B )
A．1 C.5
B．3 D．7
解析：向量a，b的夹角为120°，且a＝(1，－3)， ∴|a|＝12＋－32＝2. 又|b|＝1，∴a·b＝2×1×cos 120°＝－1.
∴(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝22＋2×(－1)＋12＝3，∴|a＋b|＝3.故选B.
8．(2017·洛阳统考)若平面向量a＝(－1,2)与b的夹角是180°，且|b|＝35，则b的坐标为( A ) A．(3，－6) C．(6，－3)
B．(－3,6) D．(－6,3)
2π
9．已知平面向量a，b的夹角为，且a·(a－b)＝8，|a|＝2，则|b|等于( D )
3A.3 C．3
B．23 D．4
→
10．(2018·漳州二模)已知点C(1，－1)，D(2，x)，若向量a＝(x,2)与CD的方向相反，则|a|＝( C ) A．1 C．22
B．2 D．2
→
解析：点C(1，－1)，D(2，x)，则CD＝(1，x＋1)，
1x→
又向量a＝(x,2)与CD的方向相反，则＝，解得x＝1或－2.
x＋12→
∵向量a＝(x,2)与CD的方向相反， ∴x＝－2.则|a|＝22.故选C.
→→
11．已知点A(0,1)，B(－2,3)，C(－1,2)，D(1,5)，则向量AC在BD方向上的投影为( D ) 213A.
13C.13 13
213B．－ 13D．－
13 13
→→→
12．(2017·陕西西安模拟)在△ABC中，A＝120°，AB·AC＝－1，则|BC|的最小值是( C ) A.2
B．2
2
C.6 D．6
13．已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，则t＝ 2 . 1
解析：由题意，将b·c＝[ta＋(1－t)b]·b整理得ta·b＋(1－t)＝0，又a·b＝，所以
2
t＝2.
→→
14．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则AE·BD＝ 2 .
→→1→→→→→→?→1→?→→→21→→
解析：因为AE＝AD＋AB，BD＝AD－AB，所以AE·BD＝?AD＋AB?·(AD－AB)＝AD－AD·AB2?22?1→2
－AB＝2. 2
15．(2018·临沂期末)已知|a|＝2，|b|＝1，(2a－3b)·(a＋2b)＝1，则a与b的夹角θ＝
2π . 3
解析：(2a－3b)·(a＋2b)＝1， 所以2a＋4a·b－3a·b－6b＝1， 已知|a|＝2，|b|＝1，整理得a·b＝－1， 1
所以|a||b|cos θ＝－1，所以cos θ＝－，
2由于0≤θ≤π，所以θ＝
2π. 3
222
16．(2016·高考全国卷Ⅰ)设向量a＝(x，x＋1)，b＝(1,2)，且a⊥b，则x＝ － .
32
解析：因为a＝(x，x＋1)，b＝(1,2)，a⊥b，所以x＋2(x＋1)＝0，解得x＝－.
3
B组 能力提升练
1
1．(2016·高考山东卷)已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝.若n⊥(tm3＋n)，则实数t的值为( B ) A．4 9C. 4
B．－4 9D．－
4
2．(2018·北京模拟)已知向量a，b在正方形网格中的位置如图所示，那么向量a，b的夹角为( A )
3
A．45° C．90°
B．60° D．135°
解析：由题意可得a＝(3,1)，b＝(1,2)，设向量a，b的夹角为θ，则θ∈[0°，180°]，则cos θ＝
a·b3＋22
＝＝，∴θ＝45°，故选A.
|a||b|9＋1×1＋42
→→→→→→
3．设四边形ABCD为平行四边形，|AB|＝6，|AD|＝4.若点M，N满足BM＝3MC，DN＝2NC，则→→
AM·NM＝( C ) A．20 C．9
B．15 D．6
→→
4．(2017·西安质量检测)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足AB＝2a，AC＝2a＋b，则下列结论正确的是( D ) A．|b|＝1 C．a·b＝1
B．a⊥b →
D．(4a＋b)⊥BC
→→
5．(2017·吉林延边模拟)已知向量a，b的夹角为60°，且|a|＝2，|b|＝3，设OA＝a，OB→
＝b，OC＝ma－2b，若△ABC是以BC为斜边的直角三角形，则m＝( C ) A．－4 C．－11
B．3 D．10
→→→→→
6．(2018·诸暨市期末)△ABC中，AB＝5，AC＝4，AD＝λAB＋(1－λ)AC(0＜λ＜1)，且AD·AC→→
＝16，则DA·DB的最小值等于( C ) 75A．－
49C．－
4
21B．－
4D．－21
→→→→→→→解析：AD＝λAB＋(1－λ)AC(0＜λ＜1)，且AD·AC＝16?点D在边BC上，|AD|·|AC|cos ∠→
|AC|→
DAC＝16，∴|AD|cos∠DAC＝4，cos∠DAC＝?BC⊥AC?△ABC是以C为直角的直角三角
→|AD|形．
4
建立如图平面直角坐标系，设A(x,4)，则B(x－3,0)，
39→→→→
则DA·DB＝x(x－3)，0＜x＜3.当x＝时，DA·DB最小，最小值为－.故选C.
247．已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝10，则|b|＝ 32 .
解析：依题意，可知|2a－b|＝4|a|－4a·b＋|b|＝4－4|a|·|b|cos 45°＋|b|＝4－2222＋3222
|b|＋|b|＝10，即|b|－22|b|－6＝0，则|b|＝＝32(负值舍去)．
2
8．(2018·武平县校级月考)已知向量a＝(2,1)，b＝(1,3)，则向量2a－b与b的夹角为
2
2
2
2
90° . 解析：∵向量a＝(2,1)，b＝(1,3)，∴2a－b＝(4,2)－(1,3)＝(3，－1)， ∴cos〈(2a－b)，b〉＝
2a－b·b＝0， |2a－b||b|∴向量2a－b与b的夹角为90°.
3π
9．(2017·广西质量检测)已知向量a，b的夹角为，|a|＝2，|b|＝2，则a·(a－2b)
4＝ 6 .
解析：a·(a－2b)＝a－2a·b＝2－2×2×2×?－
2
??2?
?＝6. 2?
→→
10．(2017·沈阳教学质量监测)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则AC·BE＝ 2 .
→→→→→→→→?→1→?→21→2
解析：AC·BE＝(AB＋AD)·(BC＋CE)＝(AB＋AD)·?AD－AB?＝AD－AB＝4－2＝2.
2?2?7→→→→
11．在△ABC中，点M是边BC的中点，|AB|＝4，|AC|＝3，则AM·BC＝ － .
27→→1→→→→1→2→21
解析：AM·BC＝(AB＋AC)·(AC－AB)＝(|AC|－|AB|)＝×(9－16)＝－.
2222
12．(2017·景德镇质检)已知向量a，b满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为
π
. 3
5
(新课标)2020年高考数学一轮总复习 平面向量的数量积及应用举例课时规范练(理)(含解析)新人教A版
