立体几何动态问题
在立体几何中，判定和证明空间的线线、线面以及面面之间的位置关系(主要是平行与垂直的位置关系)，计算空间图形中的几何量(主要是角与距离)是两类基本问题．正确揭示空间图形与平面图形的联系，并有效地实施空间图形与平面图形的转换是分析和解决这两类问题的关键．
立体几何压轴题多以选择题、填空题形式出现，往往与不等式、导数、三角函数等相结合，具有一定的综合性.
类型一 翻折、折叠问题
【例1】【2020云南玉溪一中月考】如图，矩形ABCD中，AB?4,BC?2，E为边AB的中点，沿DE将，若M为线段A1C的中点，则在?ADE折起过程中，下?ADE折起，点A折至A1处（A1?平面ABCD）列说法错误的是（ ）
A．始终有MB //平面A1DE B．不存在某个位置，使得A1C?平面A1DE C．三棱锥A1?ADE体积的最大值是
22 3D．一定存在某个位置，使得异面直线BM与A1E所成角为30
【解析】连结AC交DE于N，取CD的中点O，连结OM，OB，A1N，对A，易证，平面OMB//平面A1DE，BM?平面OMB，所以始终有MB///平面A1DE，故A正确；
对B，因为AB?4,BC?2，假设A1C?平面A1DE，则A1C?A1D，A1C?A1E，则
CD2?A1D2?CE2?A1E2?CD?CE，因为CD?4,CE?22，所以CD?DE不成立，所以假设错
误，故不存在某个位置，使得A1C?平面A1DE，故B正确； 对C，当平面A1DE?平面ABCD时，三棱锥A1?ADE的体积最大，
11122，故C正确，故选D V??S?ADE?h??(?2?2)?2?3323
【举一反三】
1.【2020·吉林吉林一中期中】等腰直角三角形BCD与等边三角形ABD中，现将△ABDBD?6，?C?90?，沿BD折起，则当直线AD与平面BCD所成角为45?时，直线AC与平面ABD所成角的正弦值为（ ）
A．3 3B．
2 2C．3 2D．23 3【解析】设E为BD中点，连接AE、CE，由题可知AE?BD，CE?BD，所以BD?平面AEC，过A作AO?CE于点O，连接DO，则AO?平面BDC，所以?ADO即为直线AD与平面BCD所成角的平面角，所以sin?ADO?12AO，可得AO?32，在△AOE中可得OE?3，又OC?BD?3，即?22AD点O与点C重合，此时有AC?平面BCD，过C作CF?AE与点F，又BD?平面AEC，所以BD?CF，所以CF?平面ABD，从而角?CAE即为直线AC与平面ABD所成角，sin?CAE?故选A.
2.【2020·四川双流中学月考】在边长为2的菱形ABCD中，BD?23，将菱形ABCD沿对角线AC对折，使二面角B?AC?D的余弦值为A．
CE33，??AE3331，则所得三棱锥A?BCD的外接球的表面积为（ ） 3C．4?
D．6?
2? 3B．2?
【解析】如图，由题意易知ABC与ADC均为正三角形，取AC中点N，连接BN，DN，则BN?AC，
DN?AC，??BND即为二面角B?AC?D的平面角，过点B作BO?DN于O，则BO?平面ACD，
由BN?ND?3，cos?BND?1323可得ON?BN?cos?BND?，OD?，333
?3?126?ON?ND即点O为ADC的中心，?三棱锥A?BCD的外接球球心，OB?3????3??33??在直线BO上，设球心为O1，半径为r，?BO1?DO1?r，OO1?22226?r, 3?26??23?6?2??解得r?，三棱锥A?BCD的外接球的表面积为?r??r????3??3?2????S?4?r2?4??3?6?，故选D. 2
类型二 截面问题
【例3】 【2020山西运城一中月考】如图，在棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1中，M,P,Q分别是棱
A1D1，AB,BC的中点若经过点M,P,Q的平面与平面CDD1C1的交线为l，则l与直线QB1所成角的余弦
值为（ ）
A．
3 3B．
10 5C．5 4D．
3 2【解析】由线面平行的性质及面面平行的性质定理，可得经过点M,P,Q的的截面为边长为2的正六边形2
立体几何动态问题
