其中0?m?1，任取实数a，定义an?lnf(an?1),n?1,2,...，证明：?(an?an?1)0?n?1绝对收敛.
七、（本题15分）是否存在区间?0,2?上的连续可微函数f(x)，满足f(0)?f(2)?1，
f?(x)?1，
?20f(x)dx?1?请说明理由.
2012年 第四届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 一、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）解答下列各题（要求写出重要步骤）. （1）求极限lim(n!). n??（2）求通过直线l:??2x?y?3z?2?0的两个互相垂直的平面?1和?2，
5x?5y?4z?3?0?1n2使其中一个平面过点(4,?3,1). （3）已知函数z?u(x,y)eax?by?2u?0. 确定常数a和b，使函数，且?x?y?2z?z?z???z?0. z?z(x,y)满足方程
?x?y?x?y（4）设函数u?u(x)连续可微，u(2)?1，且?L(x?2y)udx?(x?u3)udy在右半平面与路径无关，求u(x,y).
3（5）求极限xlimx?x???x?1sintdt. t?cost??0二、（本题10分）计算?e?2xsinxdx.
三、（本题10分）求方程x2sin1?2x?501的近似解，精确到0.001.
x四、（本题12分）设函数y?f(x)二阶可导，且f??(x)?0，f(0)?0，f?(0)?0，
x3f(u)求lim，其中u是曲线y?f(x)上点P(x,f(x))处的切线在x轴上x?0f(x)sin3u的截距.
五、（本题12分）求最小实数C，使得满足?f(x)都有?f(x)dx?C.
0110f(x)dx?1的连续函数
六、（本题12分）设f(x)为连续函数，t?0. 区域?是由抛物面
z?x2?y2和球面 x2?y2?z2?t2(z?0)所围起来的部分. 定义三重积分
F(t)????f(x2?y2?z2)dv，
?求F(t)的导数F??(t).
七、（本题14分）设?an与?bn为正项级数，证明：
n?1n?1?an1?（1）若lim???0，则级数?an收敛； n??abbn?1n?1nn?1??an1?（2）若lim???0，且级数?bn发散，则级数?an发散. n??abbn?1n?1n?1nn?1??
2013年 第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 一、解答下列各题（每小题6分，共24分，要求写出重要步骤）
1.求极限lim?1?sin?n??1?4n2?.
n2.证明广义积分?0??sinxdx不是绝对收敛的. x3.设函数y?y(x)由x3?3x2y?2y3?2确定，求y(x)的极值. 4.过曲线y?3x(x?0)上的点A作切线，使该切线与曲线及x轴所围
成的平面图形的面积为3，求点A的坐标.
4二、（满分12分）计算定积分I?????xsinx?arctanexdx.
1?cos2xxf?x?三、（满分12分）设f?x?在x?0处存在二阶导数f??(0)，且lim?0.x?0证明：级数?n?1??1?f???n?收敛.
f(x)??,f?(x)?m?0(a?x?b)，证明
四、（满分12分）设
?sinf(x)dx?m.
ab2五、（满分14分）设?是一个光滑封闭曲面，方向朝外.给定第二型的曲面积分I????x?3?x?dydz??2y3?y?dzdx??3z3?z?dxdy.试确定曲面
?，使积分I的值最小，并求该最小值.
六、（满分14分）设Ia(r)??Cyd2x?x2dy，其中a为常数，曲线C为椭a(x?y)圆x2?xy?y2?r2，取正向.求极限rlimIa(r). ???七、（满分14和.
111??L?n的敛散性，若收敛，求其分）判断级数?2n?1?n?1??n?2??
2014年 第六届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 一、填空题（共有5小题，每题6分，共30分）
1.已知y1?ex和y1?xex是齐次二阶常系数线性微分方程的解，则该方程是 .
2.设有曲面S:z?x2?2y2和平面L:2x?2y?z?0. 则与L平行的S的切平面方程是 . 3.设函数
dydxx?0y?y(x)由方程
x??y?x1??t?sin2??dt?4?所确定.求
? .
k，则nlimxn? . ??(k?1)!k?1n4.设xn???5.已知lim?1?x?x?0?f(x)f(x)?3，则lim? . ?e?x?0x2x?1?2n?1x二、（本题12分）设n为正整数，计算I??ed?1?cos?ln?dx. dx?x?三、（本题14分）设函数f(x)在[0,1]上有二阶导数，且有正常数A,B使得
f(x)?A，|f\x)|?B. 证明：对任意x?[0,1]，有|f'(x)|?2A?B. 2四、（本题14分）（1）设一球缺高为h，所在球半径为R. 证明
该球缺体积为?(3R?h)h2，球冠面积为2?Rh；（2）设球体
3(x?1)2?(y?1)2?(z?1)2?12被平面P:x?y?z?6所截的小球缺为?，
记球缺上的球冠为?，方向指向球外，求第二型曲面积分
I???xdydz?ydzdx?zdxdy.
?五、（本题15分）设f在[a,b]上非负连续，严格单增，且存在
xn?[a,b]，使得[f(xn)]n?1bn[f(x)]dx.求limxn. ?an??b?annn??L?n2?1n2?22n2?n2六、（本题15分）设An???limn?，求n????An?. ?4?
2015年 第七届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 一、填空题（每小题6分，共5小题，满分30分）
?2???sinsin?sin??n?2n?2n?L?2（1）极限lim?? . n??n?1n?2n?n????（2）设函数z?z?x,y?由方程F?x?z,y?z??0所决定，其中F?u,v?具
?yx???
历届全国大学生数学竞赛预赛试题
