绝密★启用前
2019年高考普通高等学校招生全国统一考试（全国1卷）
文科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标 号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时， 将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（5分）设z＝A．2
，则|z|＝（ ） B．
C．
D．1
2．（5分）已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，则B∩?UA＝（ ） A．{1，6}
B．{1，7}
0.2
0.3
C．{6，7} D．{1，6，7}
3．（5分）已知a＝log20.2，b＝2，c＝0.2，则（ ） A．a＜b＜c
B．a＜c＜b
C．c＜a＜b
D．b＜c＜a
4．（5分）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是
（
≈0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，
．若某人满足上述两
最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是
个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是（ ）
A．165cm
B．175cm C．185cm
第1页（共20页）
D．190cm
5．（5分）函数f（x）＝在[﹣π，π]的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（5分）某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号1，2，…，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（ ） A．8号学生
B．200号学生
C．616号学生
D．815号学生
7．（5分）tan255°＝（ ） A．﹣2﹣
B．﹣2+
C．2﹣
D．2+
8．（5分）已知非零向量，满足||＝2||，且（﹣）⊥，则与的夹角为（ ） A．
B．
C．
D．
9．（5分）如图是求的程序框图，图中空白框中应填入（ ）
第2页（共20页）
A．A＝
B．A＝2+
C．A＝
D．A＝1+
10．（5分）双曲线C：的离心率为（ ） A．2sin40°
﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的倾斜角为130°，则C
B．2cos40° C． D．
11．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知asinA﹣bsinB＝4csinC，cosA＝﹣，则＝（ ） A．6
B．5
C．4
D．3
12．（5分）已知椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为（ ） A．
+y＝1
2
B．+＝1
C．+＝1 D．+＝1
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）曲线y＝3（x+x）e在点（0，0）处的切线方程为 ．
14．（5分）记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝1，S3＝，则S4＝ ． 15．（5分）函数f（x）＝sin（2x+
）﹣3cosx的最小值为 ．
2
x
16．（5分）已知∠ACB＝90°，P为平面ABC外一点，PC＝2，点P到∠ACB两边AC，
第3页（共20页）
BC的距离均为，那么P到平面ABC的距离为 ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．（12分）某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：
男顾客 女顾客 满意 40 30 不满意 10 20 （1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；
（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？ 附：K＝
P（K≥k） k 22
． 0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828 18．（12分）记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S9＝﹣a5． （1）若a3＝4，求{an}的通项公式；
（2）若a1＞0，求使得Sn≥an的n的取值范围．
19．（12分）如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点． （1）证明：MN∥平面C1DE； （2）求点C到平面C1DE的距离．
第4页（共20页）
20．（12分）已知函数f（x）＝2sinx﹣xcosx﹣x，f′（x）为f（x）的导数． （1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点； （2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．
21．（12分）已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|＝4，⊙M过点A，B且与直线x+2＝0相切．
（1）若A在直线x+y＝0上，求⊙M的半径；
（2）是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|﹣|MP|为定值？并说明理由．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐
标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcosθ+
ρsinθ+11＝0．
（1）求C和l的直角坐标方程； （2）求C上的点到l距离的最小值． [选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．已知a，b，c为正数，且满足abc＝1．证明： （1）++≤a+b+c；
（2）（a+b）+（b+c）+（c+a）≥24．
3
3
3
2
2
2
第5页（共20页）
2019年全国统一高考数学试卷（文科）以及答案解析（全国1卷）
