第 1 次课 学时 2 授课题目（章，节） 授课类型（请打√） 第一章 函数与极限 §1 函数 理论课√□ 研讨课□ 习题课□ 复习课□ 其他□ 教学目的： 1、理解函数的概念，掌握函数定义域、值域的求解方法； 2、掌握函数的表示方法，会求解函数的奇偶性，周期性，单调性。 教学方法、手段： 讲授法，师生互动，板书，课件展示 教学重点、难点： 重点、定义域的求解；函数的几种特性； 难点、定义域的求解；奇偶性的判断。 教学容及过程设计 补充容和时间分配 （5分钟） （10分钟） （10分钟） （10分钟） 一、新教程序言 为什么要重视数学学习 （1）文化基础——数学是一种文化，它的准确性、严格性、应用广泛性，是现代社会文明的重要思维特征，是促进社会物质文明和精神文明的重要力量； （2）开发大脑——数学是思维训练的体操，对于训练和开发我们的大脑（左脑）有全面的作用； （3）知识技术——数学知识是学习自然科学和社会科学的基础，是我们生活和工作的一种能力和技术； （4）智慧开发——数学学习的目的是培养人的思维能力，这种能力为人的一生提供持续发展的动力。 二、讲授新课 利用现实生活中的一个实例（匀速运动），引起学生的兴趣，进一步使学生想了解什么是函数，好奇心吸引学生们认真听课。顺利引出函数。 1、函数的定义（课件展示） 说明：函数是变量间的一种对应关系（单值对应），函数的表达式如下： y?f(x),x?D (1)定义域：自变量的取值集合（D）。 (2)值域：函数值的集合，即y0?yx?x?f(x0)。 02、函数的二要素（板书） 构成函数的两个重要因素：定义域和对应法则。 如果两个函数定义域相同，对应法则也相同，那么这两个函数是相同的。（熟记） 注意：为了使定义域在数学上有意义，要求， （１）分母不能为０。如f(x)?1时 xx时 （２）偶次根号下非负。如f(x)?（３）对数的真数大于０。如f(x)?ln （４）正切符号下的式子不等于k???2,k?Z。 x（５）余切符号下的式子不等于k?,k?Z。 （６）反正弦、反余弦符号下的式子绝对值小于等于1。 1例1求函数y?的定义域。 2x?4例2确定函数f(x)?3?2x?x2?ln(x?2)的定义域。 说明：根据学生们做题的情况，老师仔细深刻地讲解，加深学生对定义域求解的理解和掌握。 3、函数的表示方法 通过板书结合实例，简述函数的表示方法，并且给出函数让学生用不同的方法表示该函数，加强学生对函数的表示方法的理解。 4、分段函数 分段函数：对自变量的不同取值围，函数用不同的表达式。 例如：符号函数、狄立克莱函数、取整函数等。 分段函数的定义域：不同自变量取值围的并集。 注意：求分段函数的函数值时，应先确定自变量取值的所在围，再按照其对应的式子进行计算。 点评：通过例题的讲解，加深学生对于分段函数的认识 5、 函数常见的几种基本特性（课件展示，板书辅助） 函数常见的四种基本特性：奇偶性，周期性，单调性，有界性。 讲解思路：（1）给出奇偶函数的图形，对比性地进行讲解； （2）通过例题讲解，示最小正周期的求解方法 （3）给出一些函数，提问学生函数是否有界。 三、例题分析 例1 y?sinx的定义域为(??,??)，值域为[?1,1]。 例2 y?1?x的定义域为[?1,??)，值域为[0,??)。 ?1,x?0?例3 设f(x)??0,x?0，求f(2)，f(0)和f(?2)。 ??1,x?0?解 f(2)?1，f(0)?0，f(?2)??1。 注意：求分段函数的函数值时，应先确定自变量取值的所在围，再按照其对应的式子进行计算。 四、课堂小结 1. 函数的定义及函数的二要素：定义域，对应法则； 2. 函数的特性：有界性，单调性，奇偶性， 周期性； 师生互动，提问学生本次课程相关的知识点问题。 （10分钟） （10分钟） （10分钟） （15分钟） （10分钟） - 2 -
思考题、作业题、讨论题： 思考题： 1、确定一个函数需要考虑哪几个基本要素？ [定义域、对应法则] 2、两个函数相同的条件有那些？[定义域、对应法则都相同时两函数相同] 2、思考函数的几种特性的几何意义？ [奇偶性、单调性、周期性、有界性] 作业题： P22、1（1,3）；2（1,3）；3（1,3） 课后总结分析：
- 3 -
第 2 次课 学时 2 授课题目（章，节） 授课类型（请打√） 第一章、函数与极限 §2初等函数、数列的极限 理论课√□ 研讨课□ 习题课□ 复习课□ 其他□ 教学目的： 1、了解几种基本初等函数，掌握复合函数的概念，会判断函数是否为复合函数； 2、掌握数列的概念，会求解数列的极限以及判断数列极限的收敛性和发散性。 教学方法、手段： 以讲授为主，师生互动、习题训练为辅，板书、课件展示。 教学重点、难点： 重点：复合函数；数列的极限； 难点：复合函数的判断；数列极限的求解； 教学容及过程设计 一、知识回顾（板书） 采用提问的方式带领学生复习上次课的主要容。 二、讲授新课 1.基本初等函数（课件展示，板书辅助） 熟记：六种基本初等函数的定义域、值域、图像、性质。 板书：结合图形，讲解六种基本初等函数的定义域，值域及性质。 2.复合函数（板书给出） 说 明：(1)并非任意几个函数都能构成复合函数。 如：y ??ln u，u ??? x2就不能构成复合函数。 (2)复合函数的定义域：各个复合体定义域的交集。 (3)复合函数的分解从外到进行；复合时，则直接代入消去中间变量即可。 强调：在求两个函数的复合时，注意中间变量的取舍。 板书：给出例题，让学生们做练习，加深学生对复合函数的理解和掌握。 复合函数反映了事物联系的复杂性。 3.初等函数 由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合步骤所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数，叫做初等函数；否则，不是初等函数。 说 明：（1）一般分段函数都不是初等函数，但y ??︱x︱ 是初等函数； （2）初等函数的一般形成方式：复合运算、四则运算 4. 数列的概念 （课件展示） 板书：举出例子，配合讲解数列的概念，引起学生对于数列的极限的意识。 5.数列的极限（课件展示） 根据下面的一个例子引出数列极限的概念。 半径r的圆接正多边形面积Sn?f(n)，n为正多边形的边数，当n越来越大时，Sn就越来越接近圆的面积，当n无限增大时，Sn就无限接近圆的面积。这时，我们说Sn以圆的面积为极限。 补充容和时间分配 （10分钟） （15分钟） （15分钟） (10分钟) （10分钟） （15分钟） - 4 -
限的概念去解题。 1例如：当n??时，yn?n收敛于0； 2 1当n??时，yn?1?收敛于1； n 当n??时，yn?n无极限，发散； n1?(?1)当n??时，yn?时而取0，时而取1，震荡无极限，因而也是发散的。 2 注意：数列极限的收敛性。 三、课堂演练 例1、分解下列复合函数； sinx（10分钟） （1）y?x2?1 （2）y?e 例2、求下列数列的极限并说明其收敛性； 111 ,(?1)n?1,; 1,,,; 1,?1,23n n?1 n???1?14 2,4,6,,2n,; 2,,,,,; 23n 1n?(?1)n?1n?1 其通项分别为,(?1),2n,。 nn 四、课堂小结 1、初等函数的结构：由基本初等函数经过有限四则预算和复合步骤所构成； 2、数列极限： 直观描述，精确定义，几何意义 3、数列的收敛性：如果一个数列有极限，则称该数列是收敛的，否则称为发散的 （5分钟） 通过对以下例子的讲解，使学生更进一步地理解数列极限的概念，并且会运用数列极思考题、作业题、讨论题： 思考题： 举例说明两个任意的函数能够复合成一个函数吗？ 作业题： P22: 4；6； 课后总结分析：
- 5 -
高职高专高等数学教案
