勾股定理
知识要点
一．勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
在Rt?ABC中，?C?90?,?A,?B,?C的对边分别为a,b,c， 则有：①c2?a2?b2；②a2?c2?b2；③b2?c2?a2．
二．勾股定理的巧妙运用
1．面积求值：直角三角形中，如果两直角边为a、
b,斜边为 c，斜边上的高为h，那么它们存在这样的关系：ab?ch或
abh?.
c的一半；
（反之如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°）
a:b:c?1:3:2
c=2a
a
30° b=3a a b h c
2．特殊直角三角形一：如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边
3．特殊三角形二： 在等腰直角三角形中，斜边是等于直角边的2倍 （等腰直角三角形斜边上的高正好是斜边的一半。） a:b:c?1:1:2a 45° c=2a a
三、勾股定理的逆定理：
1、如果三角形的三边长a、b、c满足a2?b2?c2(c为最长边)那么这个三角形是直角三角形。 2．勾股数组简介:
若a、b、c均为自然数，且无1以外的整数公因式当它们满足关系式a2?b2?c2时，我们称（a、b、c）为基本勾股数组。
这些勾股数是一定要记住的，以后做题将会好处多多。
1
3，4，5 2倍 6，8，10 3倍 9，12，15 4倍 12，16，20 5倍 15，20，25 5，12，13， 10，24，26 15，36，39 7，24，25 28，96，100 8，15，17 40，75，85 9，40，41 11，60，61 27，120，123
《经典例题》
《基础例题》
例1、边的求值：（ a2 + b2 = c2 ，其中C为斜边）
（1）在△ABC中，∠C＝90°，若 a＝5，b＝12， 则 c＝ ． （2）在△ABC中，∠C＝90°，若c＝25， a∶b＝3∶4，则a＝ ，b＝ ．
例2、高的求值：（h?ab，a和b为直角边，c为斜边，h为斜边上的高） c（1）直角三角形的两直角边为12、16，则斜边上的高等于 。
（2）Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，则AB=10，高CD=__ ___. 例3、一般三角形如何利用勾股定理求值：
（1）已知等边△ABC的边长为10cm，则它的高为_____ _,面积为_________; （2）△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为（ ）
A.42 B.32 C.42 或32 D.37 或 33
（3）已知等腰三角形的腰长为10，一腰上的高为6，则以底边为边长的正方形的面积为 。
例4、求下图中字母所代表的正方形的面积：
A B c a 225 b C 400 A 81 a C 225 c b B 2
SA= SB=
a= ；b= ；c= 。 a= ；b= ；c= 。 一、 利用勾股定理判定三角形形状：
1、直角三角形的判断：
例1、判断以下各组线段为边能否组成直角三角形。
111（1）、、 (2) 8，15，17 （3）12，16，20
345
（4）14、48、50 （5）9，12，13 （6）a2?b2、2ab、a2?b2
例2.（1）四组数:①9，12，15；②7，24，25；③32，42，52；④3a，4a，5a(a＞0)中，可以构成直角三角形的边长的有( )
A．4组 B．3组 C．2组 D．1组 （2）三角形的三边长分别为 a2＋b2、2ab、a2－b2（a、b都是正整数），则这个三角形是（ ）
A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定 （3）已知：a?25?b?26b?169??c?12?0,a,b,c 是三角形的三边长，试判断三角形的形状。
2、勾股定理自身的验证
例3.将两个全等的直角三角形拼成直角梯形，直角三角形的两条直角边长分别是a,b，斜边长为c，利用此图验证勾股定理。
AaBbEaCDb223
二、勾股定理综合解题：
例4.如图所示，在△ABC中，D是BC上一点，AB=10，BD=6，AD=8，AC=17。
求△ABC的面积。
A
B D 例5.（方程的思想）在钝角三角形ABC中，CB=9cm，AB=17cm，AC=10cm，
AD⊥BC的延长线于D，求AD的长。
B
例6.如图所示，已知正方形ABCD中，E是BC边的中点，
F在CD上，且DF=3CF，求证：AE⊥EF。
A D
F
B E C 例7.如图所示，在 △ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，现将它折叠，
使点C与点B重合，求折痕DE的长。
C A C D A
D
C E B
例8．一根12米的电线杆AB，用铁丝AC、AD固定，现已知用去铁丝AC=15米，AD=13米，又测得地面上B、C两点之间距离是9米，B、D两点之间距离是5米，则电线杆和地面是否垂直，为什么？ A
B
DC 4
例9．如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C地将其拦截。已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时N航行50海里，航向为北偏西40°，问：甲巡逻艇的航向是怎样的？
ACEB
《提高例题》
例1．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=5cm，AC=12cm，CD⊥AB，D为垂足，求CD的长。
例2．直角三角形斜边长为2，两直角边和为6，求此直角三角形面积。
例3.如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿直线AD折叠，
使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（ ） A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 5cm
例4.如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20分米、3分米、2分米， A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短的路程是多少?
例5.如图所示，MN表示一条铁路，A、B是两个城市，它们到铁路的所在直线MN的垂直距离分别AA1=20km,BB1=40km，
A1B1=80km.现要在铁路A1，B1之间设一个中转站P，使两个城市到中转站的距离之和最短。请你设计一种方案确定P点的位置，并求这个最短距离。
A M A1 5
B
B1 N
北师大版八年级上册数学 第一章 勾股定理 讲义
