勾股定理
知识要点
一.勾股定理:直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
在Rt?ABC中,?C?90?,?A,?B,?C的对边分别为a,b,c, 则有:①c2?a2?b2;②a2?c2?b2;③b2?c2?a2.
二.勾股定理的巧妙运用
1.面积求值:直角三角形中,如果两直角边为a、
b,斜边为 c,斜边上的高为h,那么它们存在这样的关系:ab?ch或
abh?.
c的一半;
(反之如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的角等于30°)
a:b:c?1:3:2
c=2a
a
30° b=3a a b h c
2.特殊直角三角形一:如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边
3.特殊三角形二: 在等腰直角三角形中,斜边是等于直角边的2倍 (等腰直角三角形斜边上的高正好是斜边的一半。) a:b:c?1:1:2a 45° c=2a a
三、勾股定理的逆定理:
1、如果三角形的三边长a、b、c满足a2?b2?c2(c为最长边)那么这个三角形是直角三角形。 2.勾股数组简介:
若a、b、c均为自然数,且无1以外的整数公因式当它们满足关系式a2?b2?c2时,我们称(a、b、c)为基本勾股数组。
这些勾股数是一定要记住的,以后做题将会好处多多。
1
3,4,5 2倍 6,8,10 3倍 9,12,15 4倍 12,16,20 5倍 15,20,25 5,12,13, 10,24,26 15,36,39 7,24,25 28,96,100 8,15,17 40,75,85 9,40,41 11,60,61 27,120,123
《经典例题》
《基础例题》
例1、边的求值:( a2 + b2 = c2 ,其中C为斜边)
(1)在△ABC中,∠C=90°,若 a=5,b=12, 则 c= . (2)在△ABC中,∠C=90°,若c=25, a∶b=3∶4,则a= ,b= .
例2、高的求值:(h?ab,a和b为直角边,c为斜边,h为斜边上的高) c(1)直角三角形的两直角边为12、16,则斜边上的高等于 。
(2)Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,则AB=10,高CD=__ ___. 例3、一般三角形如何利用勾股定理求值:
(1)已知等边△ABC的边长为10cm,则它的高为_____ _,面积为_________; (2)△ABC中,AB=15,AC=13,高AD=12,则△ABC的周长为( )
A.42 B.32 C.42 或32 D.37 或 33
(3)已知等腰三角形的腰长为10,一腰上的高为6,则以底边为边长的正方形的面积为 。
例4、求下图中字母所代表的正方形的面积:
A B c a 225 b C 400 A 81 a C 225 c b B 2
SA= SB=
a= ;b= ;c= 。 a= ;b= ;c= 。 一、 利用勾股定理判定三角形形状:
1、直角三角形的判断:
例1、判断以下各组线段为边能否组成直角三角形。
111(1)、、 (2) 8,15,17 (3)12,16,20
345
(4)14、48、50 (5)9,12,13 (6)a2?b2、2ab、a2?b2
例2.(1)四组数:①9,12,15;②7,24,25;③32,42,52;④3a,4a,5a(a>0)中,可以构成直角三角形的边长的有( )
A.4组 B.3组 C.2组 D.1组 (2)三角形的三边长分别为 a2+b2、2ab、a2-b2(a、b都是正整数),则这个三角形是( )
A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定 (3)已知:a?25?b?26b?169??c?12?0,a,b,c 是三角形的三边长,试判断三角形的形状。
2、勾股定理自身的验证
例3.将两个全等的直角三角形拼成直角梯形,直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为c,利用此图验证勾股定理。
AaBbEaCDb223
二、勾股定理综合解题:
例4.如图所示,在△ABC中,D是BC上一点,AB=10,BD=6,AD=8,AC=17。
求△ABC的面积。
A
B D 例5.(方程的思想)在钝角三角形ABC中,CB=9cm,AB=17cm,AC=10cm,
AD⊥BC的延长线于D,求AD的长。
B
例6.如图所示,已知正方形ABCD中,E是BC边的中点,
F在CD上,且DF=3CF,求证:AE⊥EF。
A D
F
B E C 例7.如图所示,在 △ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,现将它折叠,
使点C与点B重合,求折痕DE的长。
C A C D A
D
C E B
例8.一根12米的电线杆AB,用铁丝AC、AD固定,现已知用去铁丝AC=15米,AD=13米,又测得地面上B、C两点之间距离是9米,B、D两点之间距离是5米,则电线杆和地面是否垂直,为什么? A
B
DC 4
例9.如图,在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域,我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截,六分钟后同时到达C地将其拦截。已知甲巡逻艇每小时航行120海里,乙巡逻艇每小时N航行50海里,航向为北偏西40°,问:甲巡逻艇的航向是怎样的?
ACEB
《提高例题》
例1.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC=5cm,AC=12cm,CD⊥AB,D为垂足,求CD的长。
例2.直角三角形斜边长为2,两直角边和为6,求此直角三角形面积。
例3.如图,有一块直角三角形纸片,两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿直线AD折叠,
使它落在斜边AB上,且与AE重合,则CD等于( ) A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 5cm
例4.如图是一个三级台阶,它的每一级的长宽和高分别为20分米、3分米、2分米, A和B是这个台阶两个相对的端点,A点有一只蚂蚁,想到B点去吃可口的食物,则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短的路程是多少?
例5.如图所示,MN表示一条铁路,A、B是两个城市,它们到铁路的所在直线MN的垂直距离分别AA1=20km,BB1=40km,
A1B1=80km.现要在铁路A1,B1之间设一个中转站P,使两个城市到中转站的距离之和最短。请你设计一种方案确定P点的位置,并求这个最短距离。
A M A1 5
B
B1 N
北师大版八年级上册数学 第一章 勾股定理 讲义
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