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三角函数的诱导公式
【学习要求】
1．掌握诱导公式五、六的推导，并能应用于解决简单的求值、化简与证明问题．
2．对诱导公式一至六，能作综合归纳，体会出六组公式的共性与个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力．
3．继续体会知识的“发生”、“发现”过程，培养研究问题、发现问题、解决问题的能力． 【学法指导】
六组诱导公式可以概括为一句口诀：“奇变偶不变，符号看象限”，即诱导公式左边的π
角可统一写成k·±α(k∈Z)的形式，当k为奇数时公式等号右边的三角函数名称与左
2边的三角函数名称正余互变，当k为偶数时，公式符号右边的三角函数名称与左边一样；π
而公式右边的三角函数之前的符号，则把α当成锐角，看k·±α为第几象限角.
2
1．诱导公式五～六
?π??π?(1)公式五：sin?－α?＝ ；cos?－α?＝ . ?2??2?
以－α替代公式五中的α，可得公式六．
?π??π?(2)公式六：sin?＋α?＝ ；cos?＋α?＝ . ?2??2?
2．诱导公式五～六的记忆
ππ
－α，＋α的三角函数值，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看22成锐角时原函数值的符号，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”.
探究点一 诱导公式五 (1)诱导公式五的提出：
在直角三角形中，根据正弦、余弦的定义、 完成下列填空：
?π??π?sin α＝ ，cos α＝ ，sin?－α?＝ ，cos?－α?＝ . ?2??2?
根据上述结论，你有什么猜想？ ?π??π?sin?－α?＝ ；cos?－α?＝ . ?2??2?(2)诱导公式五的推导：
π
答 角α的终边与－α的终边关于直线y＝x对称．
2
π
问题1 若α为任意角，那么－α的终边与角α的终边有怎样的对称关系？
2π
问题2 设角α与单位圆交于点P(x，y)，则－
2
α与单位圆交于点P′，写出点P′的坐标． 答 P′(y，x)．
问题3 根据任意角三角函数的定义，完成下列填空： sin α＝ ，cos α＝ ； ?π??π?sin?－α?＝ ，cos?－α?＝ . ?2??2?
1
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?π??π?所以，对任意角α都有：sin?－α?＝ ，cos?－α?＝ ?2??2?
.
探究点二 诱导公式六 (1)诱导公式六： ?π??π?sin?＋α?＝ ，cos?＋α?＝ . ?2??2?(2)诱导公式六的推导：
ππ
思路一 根据＋α＝－(－α)这一等式，利用诱导公式三和诱导公式五推导诱导
22
公式六．
π?π?答 sin(＋α)＝sin?－－α?＝cos(－α)＝cos α；
2?2??π??π?cos?＋α?＝cos?－－α?＝sin(－α)＝－sin α. ?2??2?
π?π?思路二 根据＋α＝π－?－α?这一等式，利用诱导公式四和诱导公式五推导诱导公式2?2?六．
?π???π???π?答 sin?＋α?＝sin?π－?－α??＝sin?－α?＝cos α， ?2???2???2??π???π???π?cos?＋α?＝cos?π－?－α??＝－cos?－α? ?2???2???2?＝－sin α，
?π??π?∴sin?＋α?＝cos α，cos?＋α?＝－sin α. ?2??2?
探究点三 诱导公式的理解、记忆与灵活应用
公式一～四归纳：α＋2kπ(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于角α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名不变，符号看象限”．
π
公式五～六归纳：±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前
2面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名改变，符号看象限”或“正变余、余变正、符号象限定”．
π
六组诱导公式可以统一概括为“k·±α(k∈Z)”的诱导公式．当k为偶数时，函数名不
2
改变；当k为奇数时，函数名改变；然后前面加一个把α视为锐角时原函数值的符号．记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”．请你根据上述规律，完成下列等式： ?3??3?sin?π－α?＝ ，cos?π－α?＝ ， ?2??2?
?3??3?sin?π＋α?＝ ，cos?π＋α?＝ . ?2??2?
你能根据相关的诱导公式给出上述等式的证明吗？
?3???π???π?答 sin?π－α?＝sin?π＋?－α??＝－sin?－α?
?2???2???2?
＝－cos α；
2
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?3???π???π?cos?π－α?＝cos?π＋?－α??＝－cos?－α? ?2???2???2?
＝－sin α；
?3???π???π?sin?π＋α?＝sin?π＋?＋α??＝－sin?＋α? ?2???2???2?
＝－cos α；
?3???π???π?cos?π＋α?＝cos?π＋?＋α??＝－cos?＋α? ?2???2???2?
＝sin α. 【典型例题】
π?3π2π?3π??例1 已知cos?α＋?＝，≤α≤，求sin?α＋?的值． 6?523?2??π?π2π?
解 ∵α＋＝?α＋?＋，
6?23?
π?π?π?32π???∴sin(α＋)＝sin??α＋?＋?＝cos?α＋?＝.
6?2?6?53???
小结 利用诱导公式五和诱导公式六求值时，要注意沟通已知条件中的角和问题结论中角之ππππ
间的联系，注意＋α与－α，－α与＋α等互余角关系的识别和应用．
6344π?3?π??跟踪训练1 已知sin?＋α?＝，求cos?α－?的值．
3??6?3?3??π??2sin?θ－π?cos?θ＋?－1
2??2?tan9π＋θ＋1?
例2 求证：＝.
3?tanπ＋θ－12?1－2cos?θ＋π?2??
?3?－2sin?π－θ?(－sin θ)－1
?2?
证明 ∵左边＝ 2
1－2sinθ??π??－2sin?π＋?－θ??－sin θ－1??2??
＝ 2
1－2sinθ?π?2sin?－θ?－sin θ－1?2?＝ 2
1－2sinθ＝
－2sin θcos θ－1
222
sinθ＋cosθ－2sinθ2
sin θ＋cos θ＝22sinθ－cosθtan θ＋1右边＝
tan θ－1
sin θ＋cos θ＝ sin θ－cos θsin θ＋1cos θsin θ＋cos θ＝＝. sin θsin θ－cos θ－1cos θ3
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∴左边＝右边，故原等式成立．
小结 三角函数恒等式的证明过程多数是化简的过程，一般是化繁为简，可以化简一边，也可以两边都化简，同时注意诱导公式的灵活应用，避免出现符号错误．
sin
跟踪训练2
cosπ－αsin3π－α2π－αcosπ＋α?π??11?cos?＋α?cos?π－α??2??2?
.
9??sin－π－αsin?π＋α??2?
7?5??4?π
例3 已知sin(5π－θ)＋sin?π－θ?＝，求sin?－θ?＋
?2?2?2?
?4?3
cos?π＋θ?的值．
?2?
?5?解 ∵sin(5π－θ)＋sin?π－θ?
?2?
＝sin(π－θ)＋sin?＝sin θ＋cos θ＝
?π－θ? ?
?2?
7， 2
12
∴sin θcos θ＝[(sin θ＋cos θ)－1]
21??7?2?3＝???－1?＝， 2??2??8∴sin?
4
?π－θ?＋cos4?3π＋θ?＝cos4θ＋sin4θ
??2??2???
2
2
2
2
2
＝(sinθ＋cosθ)－2sinθcosθ
?3?223＝1－2×??＝.
?8?32
小结 解答本题时，应先利用诱导公式将已知式子和所求式分别化简，再利用sin θ±cos θ与sin θcos θ之间的关系求值．
3?3?3?3?π
跟踪训练3 已知sin(θ－π)＋cos?π＋θ?＝，求sin?＋θ?
2?2?5?2?
?3π－θ?.
?
?2?
π?1π???1．已知sin?α－?＝，则cos?α＋?的值为 6?33???
－cos?
3
( )
23231
A．－ B． C．
333
2．已知sin(α－180°)－sin(270°－α)＝m，则sin(180°＋α)· sin(270°＋α)用m表示为 ( )
m2＋1
D．－
23．代数式sin(A＋45°)＋sin(A－45°)的化简结果是______．
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2
1D．－
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sinα－3πcos2π－α·sin－α＋π
2
4．已知f(α)＝.
cos－π－αsin－π－α(1)化简f(α)；
31
(2)若α是第三象限角，且cos(α－π)＝，求f(α)的值．
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π
1．学习了本节知识后，连同前面的诱导公式可以统一概括为“k·±α(k∈Z)”的诱导公
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式．当k为偶数时，得α的同名函数值；当k为奇数时，得α的异名函数值，然后前面加一个把α看成锐角时原函数值的符号．
π
2．诱导公式统一成“k·±α(k∈Z)”后，记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”.
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高中数学1.3.2三角函数的诱导公式二学案新人教A版必修4
