3.1.3 导数的几何意义
课时过关·能力提升
基础巩固
1.若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为3x+y+5=0,则( )
A.f'(x0)>0 B.f'(x0)<0 C.f'(x)=0 D.f'(x0)不存在
答案:B 2.已知曲线y
上一点 - 则过点 的切线的倾斜角为
A.30°
B.45° C.135° D.165°
解析:∵y
∴y'
- - -
∴y'|
x=1=1.∴点 - 处切线的斜率为1,则切线的倾斜角为45°. 答案:B 3.曲线y=x3-2x+1在点(1,0)处的切线方程为( ) A.y=x-1 B.y=-x+1 C.y=2x-2 D.y=-2x+2
解析:y'|x=1
=1,
因此曲线在点(1,0)处的切线方程为y=x-1. 答案:A 4.若曲线y=ax2在点(1,a)处的切线与直线2x-y-6=0平行,则a等于( ) A.1 B
C.
1
解析:∵y'
-
又直线2x-y-6=0不过(1,1)点, ∴a=1即为所求. 答案:A 5.
函数y=f(x)的图象如图,下列数值排序正确的是( ) A.0 解析:本题考查了导数的几何意义.由图可知f'(3) 直线,斜率kAB - - 设点(2,f(2))处的切线斜率为k1,点(3,f(3))处的切线斜率为k2, 由图可得k2 =2Δx+ Δx)2, ∴y'|x=2 ∴曲线在点(2,2)处的切线斜率为2. ∴切线方程为y-2=2(x-2), 即2x-y-2=0. 答案:2x-y-2=0 2 7.已知函数y=f(x)的图象在点M(1,f(1))处的切线方程是y 则 解析:由在点M处的切线方程y 得f(1) 则f(1)+f'(1) 答案:3 8.已知两条曲线y=x2-1与y=1-x3在点x0处的切线平行,则x0= . 解析:由y=x2-1,得y 由y=1-x3,得y 由题意得2x0=- 即 解得x 0=0或x0= 答案:0或 9.在抛物线y=x2上求一点P,使在该点处的切线垂直于直线2x-6y+5=0. 解:设点P的坐标为(x0,y0),则抛物线y=x2 在点P处的切线斜率为y - 直线2x-6y+5=0的斜率为 由题设知2x 0· 解得x0= 此时y 0 故点P的坐标为 - 10.若函数f(x)=x 求它与 轴交点处的切线的方程 解:由f(x)=x 得x=±1, 即与x轴交点坐标为(1,0)或(-1,0). ∵f'(x) - - ∴切线的斜率k=1 ∴切线的方程为y=2(x-1)或y=2(x+1), 即2x-y-2=0或2x-y+2=0. 能力提升 3 1.设f(x)为可导函数且满足 A.2 解析: 答案:B 2.设P0为曲线f(x)=x3+x-2上的点,且曲线在P0处的切线平行于直线y=4x-1,则点P0的坐标为( ) A.(1,0) C.(1,0)或(-1,-4) B.(2,8) D.(2,8)或(-1,-4) - - - 则过曲线 上点 处的切线斜率为 B.-1 C.1 - - - - D.-2 - - - - - - - - - - 解析:f'(x)= =3x2+1. 因为曲线f(x)=x3+x-2在点P0处的切线平行于直线y=4x-1,所以f(x)在点P0处的导数值等于4.设 点P0(x0,y0),有f'(x0)= 解得x0=±1,故点P0的坐标为(1,0)或(-1,-4). 答案:C 3.若曲线y=x2+ax+b在点(0,b)处的切线方程是x-y+1=0,则( ) A.a=1,b=1 C.a=1,b=-1 B.a=-1,b=1 D.a=-1,b=-1 解析:∵切点(0,b)在切线x-y+1=0上, ∴b=1.∴y=x2+ax+1. ∵y' - - - ∴y'|x=0=a=1. 答案:A 4.设P为曲线C:y=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为 则点 的横坐标的取值范围为 A - C.[0,1] 答案:D 5.已知曲线y=ax2+b在点(1,3)处的切线斜率为2,则 D - 4 答案:2 ★6.曲线y 和 在它们交点处的两条切线与 轴所围成的三角形的面积是 答案: 7.已知直线l:y=4x+a和曲线C:f(x)=x3-2x2+3相切.求切点的坐标及a的值. 解:设直线l与曲线C相切于点P(x0,y0), f'(x) - - - - =3x2-4x. 由题意可知k=4,即 解得x0= 或x0=2. 因此切点坐标为 - 或(2,3), 当切点为 - 时,有 - 解得a 当切点为(2,3)时,有3=4×2+a, 解得a=-5. 故切点为 - 或切点为(2,3),a=-5. ★8.已知曲线y=x2+1,是否存在实数a,使得经过点(1,a)能够作出该曲线的两条切线?若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,请说明理由. 解:由 - 得y' 设切点为P(x0,y0),则切线的斜率为k=y 由点斜式可得所求切线方程为y-y0=2x0(x-x0). 又因为切线过点(1,a),y0 所以a- 即 因为切线有两条,所以Δ=(-2)2-4(a-1)>0,解得a<2. 5
高中数学人教A版选修1-1习题：第三章 导数及其应用 3.1.3
