所以.
故只要证明即可（需验证等号不同时成立）.………………12分
设，，则.………………13分
因为当时，；当时，，
所以函数所以
在上单调递减，在（当且仅当
上单调递增.
时等号成立）.②
因为①②两个不等式中的等号不同时成立，
所以当时，.………………15分
35.（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）当时，
因为所以所以曲线（II）定义域为
，…………….1分 .…………….2分 在点.
处的切线方程为
.…………….4分
因为①当所以函数②当所以函数
时，
在
时，
在
恒成立.
上单调递增.…………….5分 恒成立.
上单调递增.…………….6分
16 / 23
③当时，令，则或.…………….7分
所以当时，或；
当时，.…………….8分
所以函数在和上单调递增，
在
综上可知，当
上单调递减.…………….9分
时，函数
在
上单调递增；
当时，函数在和上单调递增，
在上单调递减.
（III）法一：由（Ⅱ）可知， （1）当
时，函数
在
上单调递增；
所以当因为所以
时，
，
.…………….10分
（2）当时，函数在和上单调递增，
在上单调递减.
①当所以当
，即时，
时，.
函数在上单调递减，上单调递增，
17 / 23
所以
.…………….11分
②当，即时，.
由上可知，
因为，
设.
因为所以
在
， 上单调递增.
所以.
所以所以
.…………….13分
③当，即时，.
因为函数在上单调递减，
所以当所以综上可知，当（III）法二： 因为
时，
. 时，
.
.…………….14分
，
18 / 23
①当因为所以
时，
， .
所以②当
时，
.……………10分
因为所以
，
.
所以..11分
设.
因为所以当当所以
时，在
时，
或
， ，
.…………….12分
上单调递减，在
上单调递增.……………13分
所以所以当
时，
.
.…………….14分
36.（本小题共15分）
解：（Ⅰ）因为f(x)?x?1ex，定义域R，
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所以f'(x)??xex.
令f'(x)?0，解得x?0.
随x的变化，f'(x)和f(x)的情况如下：
由表可知函数f(x)在x?0时取得极大值f(0)?1，无极小值.………5分
（Ⅱ）令g(x)?f(x)?121exx2?1?x?112?x?1(x?0)， ex2g'(x)=?xex?x?x(1?)?x(ex?1ex).
由x?0得e?1?0， 于是g'(x)?0，
故函数g(x)是[0,+?)上的增函数.
x12f(x)??x?1.………9分 g(x)?g(0)?0所以当x?(0,+?)时，，即
2（Ⅲ）当a??12时，由（Ⅱ）知f(x)??12x2?1?ax2?1，满足题意.
令h(x)?f(x)?ax?1?2x?1e1x?ax2?1，
h'(x)??12xex?2ax??x(ex?2a).
12a当??a?0时，若x?(0，ln(?))，h'(x)?0，
ln(?则h(x)在[0，12a)]上是减函数.
ln(?所以x?(0，12a))时，h(x)?h(0)?0，不合题意.
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2020届北京各区高三二模数学分类汇编—函数与导数(含答案)
