g(x) Z 极大值 ] ???所以g(x)在(0,)上单调增，在(,)上单调减.
442?因为g(0)?0,所以当x?(0,]时，g(x)?0；
4???又g()??1?0，所以当x?(,)时，g(x)有且只有一个零点.
242?x所以当x?(0,)时，g(x)?ecosx?1有且只有一个零点.
2?即方程f?(x)?2，x?(0,)有且只有一个解.
2?所以曲线y?f(x)在区间(0,)上有且只有一条斜率为2的切线.
231．（本小题满分15分） 解：（Ⅰ）函数f(x)为偶函数，
所以f(?π)?f(π)，即ae?π?1?aeπ?1，………………2分 解得a?0.
验证知a?0符合题意.………………4分 （Ⅱ）f?(x)?ex?sinx.………………6分
由x?0，得ex?1，sinx?[?1,1]，………………7分 则f?(x)?ex?sinx?0，即f(x)在(0,??)上为增函数. 故f(x)?f(0)?2，即f(x)?2.………………9分
x（Ⅲ）由f(x)?ae?cosx?0，得a??cosx. ex设函数h(x)??cosx，x?[0,π]，………………10分 ex则h?(x)?sinx?cosx.………………11分
ex 11 / 23
令h?(x)?0，得x?3π. 4随着x变化，h?(x)与h(x)的变化情况如下表所示：
x (0,3π) 43π 40 极(3π,π) 4h?(x) ? ? h(x) ↗ 大值 ↘ 所以h(x)在
(0,3π3π(,π))4上单调递增，在4上单调递减.………………13分
3π2?34πe， 又因为h(0)??1，h(π)?e，h()?42?πcosx3π3π2?34π所以当a?[e,e)时，方程a??x在区间[0,π]内有两个不同解，且在区间[0,)与(,π]上各有
e442?π一个解.
2?34πe).………………15分 即所求实数a的取值范围为[e,2?π32.（本小题15分）
（Ⅰ）解：f'(x)?e?cosx?a, 对于a??2，
当x?0时，e?1,cosx?1， 所以f'(x)?e?cosx?2?0.
所以f(x)在???,0?上单调递减.………………………………4分 （Ⅱ）解：当x?0时，f(x)?1?1，对于a?R，命题成立， 当x?0时，设g(x)?e?cosx?a， 则g'(x)?e?sinx.
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xxxxx因为e?1,xsinx?1，
x所以g'(x)?e?sinx?1?1=0，g(x)在?0,???上单调递增. 又g(0)?2?a， 所以g(x)?2?a.
所以f'(x)在?0,???上单调递增，且f'(x)?2?a. ① 当a??2时，f'(x)?0， 所以f(x)在?0,???上单调递增. 因为f(0)?1， 所以f(x)?1恒成立.
② 当a??2时，f'(0)?2?a?0， 因为f'(x)在[0,??)上单调递增，
又当x?ln(2?a)时，f'(x)??a?2?cosx?a?2?cosx?0， 所以存在x0?(0,??)，对于x?(0,x0)，f'(x)?0恒成立. 所以f(x)在?0,x0?上单调递减，
所以当x?(0,x0)时，f(x)?f(0)?1，不合题意.
综上，当a??2时，对于x?0，f(x)?1恒成立.………………………………13分 （Ⅲ）解：a?0.………………………………15分 33.（本小题15分）
解：（Ⅰ）（ⅰ）因为f(x)?2sinx?xcosx?ax，所以
f?(x)?2cosx?(cosx?xsinx)?a?cosx?xsinx?a．
因为曲线y?f(x)在点(0,f(0))处的切线的斜率为1， 所以f?(0)?1，即1?a?1，故a?0． 经检验，符合题意．……………4分
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（ⅱ)由（ⅰ）可知f(x)?2sinx?xcosx，f?(x)?cosx?xsinx． 设g(x)?f?(x)，则g?(x)?xcosx． 令g?(x)?0，又x?(0,π)，得x?π． 2ππ当x?(0,)时，g?(x)?0；当x?(,π)时，g?(x)?0，
22ππ所以g(x)在(0,)内单调递增，在(,π)内单调递减．
22ππ又g(0)?1，g()?，g(π)??1，
22ππ因此，当x?(0,]时，g(x)?g(0)?0，即f?(x)?0，此时f(x)在区间(0,]上无极值点；
22π当x?(,π)时，g(x)?0有唯一解x0，即f?(x)?0有唯一解x0，
2π且易知当x?(,x0)时，f?(x)?0，当x?(x0,π)时，f?(x)?0，
2π故此时f(x)在区间(,π)内有唯一极大值点x0．
2综上可知，函数f(x)在区间(0,π)内有唯一极值点．……………10分 （Ⅱ）因为f?(x)?cosx?xsinx?a，设h(x)?f?(x)，则h?(x)?xcosx．
令h?(x)?0，又x?(0,π)，得x?πππ．且当x?(0,)时，h?(x)?0；当x?(,π)时，h?(x)?0， 222ππ所以f?(x)在(0,)内单调递增，在(,π)内单调递减．
22??当a?1时，f?(0)?1?a?0，f?()??a?0，f?(?)??1?a．
22（1）当f?(?)??1?a?0，即a??1时，f?(x)?0． 此时函数f(x)在(0,π)内单调递增，f(x)?f(0)?0；
??（2）当f?(?)??1?a?0，即?1?a?1时，因为f?(0)?1?a?0，f?()??a?0，
22 14 / 23
ππ所以，在(0,)内f?(x)?0恒成立，而在区间(,π)内f?(x)有且只有一个零点，记为x1，
22则函数f(x)在(0,x1)内单调递增，在(x1,π)内单调递减． 又因为f(0)?0，f(?)?(1?a)??0，所以此时f(x)?0．
由（1）（2）可知，当a?1时，对任意x?(0,π)，总有f(x)?0．……………15分 34．（本小题满分15分）
解：（Ⅰ）由则所以曲线将点
，
. 在点
代入切线方程，得
，处的切线为
.………………5分
.
.………………4分
，得
，………………2分
（Ⅱ）由题意，得
令，得.………………7分
随着变化，与的变化情况如下表所示：
0 ↘ 极小值 ↗ 所以函数在上单调递减，在上单调递增.………………9分
所以函数存在极小值，且极小值为；函数不存在极大值.
………………10分
（Ⅲ）“”等价于“”.………………11分
由（Ⅱ），得（当且仅当时等号成立）.①
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2020届北京各区高三二模数学分类汇编—函数与导数(含答案)
