∴a2是1到4023之间的奇数，而且是完全平方数，这样的数共有31个，即32，52，…，632．
∴a可以为3，5，…，63，
∴满足条件的直角三角形的个数为31． 故答案为：31．
14．（5分）一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8．同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为奇数5的概率是
．
【解答】解：∵正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8，用列表法列举朝上的面两数字之和所有可能是：
∴朝上的面两数字之和为奇数5的概率是：故答案为：．
＝．
15．（5分）如图，双曲线
（x＞0）与矩形OABC的边CB，BA分别交于点E，F，且
．
AF＝BF，连接EF，则△OEF的面积为
【解答】解：如图，设点B的坐标为（a，b），则点F的坐标为∵点F在双曲线
上，
．
第11页（共16页）
∴a×＝2，解得ab＝4，
又点E在双曲线上，且纵坐标为b，所以点E的坐标为（，b），则
故本题答案为：． 16．（5分）设四位数
满足a3+b3+c3+d3+1＝10c+d，则这样的四位数的个数为 5 ．
【解答】解：根据题意可得：a，b，c，d是小于10的自然数， ∵a3+b3+c3+d3+1＝10c+d， ∴可得a3+b3+c3+d3+1是两位数， ∴a，b，c，d均为小于5的自然数，
∴如果c＝1，d＝0，则a＝2，b＝0，此时这个四位数为2010， 如果c＝1，d＝1，则a＝2，b＝0，此时这个四位数为2011， 如果c＝1，d＝2，则a＝1，b＝1，此时这个四位数为1112， 如果c＝2，找不到符合要求的数，
如果c＝3，d＝0，则a＝1，b＝1，此时这个四位数为1130， 如果c＝3，d＝1，则a＝1，b＝1，此时这个四位数为1131， 如果c＝4，则c3＝64，不符合题意，
故此四位数可能为：2010或2011或1112或1130或1131． 故答案为：5．
三、解答题（共4题，17、18每题15分，19、20每题20分，共70分）
17．（15分）如图，△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2AC．点P在△ABC内，且PA＝PB＝5，PC＝2，求△ABC的面积．
，
【解答】解：如图，作△ABQ，使得∠QAB＝∠PAC，∠ABQ＝∠ACP，则△ABQ∽△ACP．
第12页（共16页）
∵AB＝2AC，
∴△ABQ与△ACP相似比为2． ∴AQ＝2AP＝2
，BQ＝2CP＝4，
∠QAP＝∠QAB+∠BAP＝∠PAC+∠BAP＝∠BAC＝60°． 由AQ：AP＝2：1知，∠APQ＝90°，于是PQ＝∴BP2＝25＝BQ2+PQ2，从而∠BQP＝90°， 过A点作AM∥PQ，延长BQ交AM于点M， ∴AM＝PQ，MQ＝AP，
∴AB2＝AM2+（QM+BQ）2＝PQ2+（AP+BQ）2＝28+8故S△ABC＝AB?ACsin60°＝故答案为：3+
．
＝
＝3+
， ． AP＝3，
18．（15分）已知抛物线
的顶点为P，与x轴的正半轴交于A（x1，0）、B
），
（x2，0）（x1＜x2）两点，与y轴交于点C，PA是△ABC的外接圆的切线．设M（0，若AM∥BC，求抛物线的解析式． 【解答】解：∵抛物线a′＝﹣，b′＝b，c′＝c， ∴点P的横坐标为：﹣∴点P的坐标为令x＝0，则y＝c， ∴点C（0，c），
＝3b，纵坐标为：，
＝b2+c，
中，
设△ABC的外接圆的圆心为D，则点P和点D都在线段AB的垂直平分线上，设点D的坐标为（3b，m）．
第13页（共16页）
显然，x1，x2是一元二次方程∴
，
，
的两根，
又∵AB的中点E的坐标为（3b，0）， ∴AE＝
．
∵PA为⊙D的切线， ∴PA⊥AD， 又∵AE⊥PD，
∴由射影定理可得 AE2＝PE?DE，即∴可得m＝﹣6，
又∵DA＝DC得 DA2＝DC2，即
把m＝﹣6代入后可解得c＝﹣6（另一解c＝0舍去）． 又∵AM∥BC，
，
，又易知m＜0，
∴，即
，（另一解
．…
舍去）． ．
把c＝﹣6代入，解得∴抛物线的解析式为
19．（20分）如图，PA为⊙O的切线，PBC为⊙O的割线，AD⊥OP于点D，证明：AD2
＝BD?CD．
第14页（共16页）
【解答】证明：连接OA、OC，如图， ∵PA为⊙O的切线， ∴OA⊥PA， ∴∠OAP＝90°， ∵AD⊥OP，
∴∠ADP＝∠ADO＝90°， ∵∠APO＝∠DPA， ∴Rt△PAD∽Rt△POA，
∴PA：PO＝PD：PA，即PA2＝PD?PO，
同理可得Rt△OAD∽Rt△OPA，则OA2＝OD?OP， Rt△PAD∽Rt△AOD，则AD2＝PD?DO， ∵OA2＝OD?OP，OC＝OA，
∴OC2＝OD?OP，即OC：OD＝OP：OC， 而∠POC＝∠COD， ∴△POC∽△COD；
∵PA为⊙O的切线，PBC为⊙O的割线， ∴PA2＝PB?PC，
∴PB?PC＝PD?PO，即PB：PO＝PD：PC， 而∠BPD＝∠OPC， ∴△PBD∽△POC， ∴△PBD∽△COD，
∴PD：CD＝BD：OD，即PD?OD＝BD?CD， ∴AD2＝BD?CD．
第15页（共16页）
20．（20分）若从1，2，3，…，n中任取5个两两互素的不同的整数a1，a2，a3，a4，a5，其中总有一个整数是素数，求n的最大值．
【解答】解：若n≥49，取整数1，22，32，52，72，这五个整数是五个两两互素的不同的整数，但没有一个整数是素数，
∴n≤48，在1，2，3，……，48中任取5个两两互素的不同的整数， 若都不是素数，则其中至少有四个数是合数，不妨假设，为合数， 设其中最小的素因数分别为p1，p2，p3，p4 由于两两互素，∴p1，p2，p3，p4两两不同 设p是p1，p2，p3，p4中的最大数，则p≥7 因为为合数， 所以其中一定存在一个
aj≥p2≥72＝49，与n≤48矛盾， 于是其中一定有一个是素数 综上所述，正整数n的最大值为48．
第16页（共16页）
2024年浙江省温州中学自主招生数学试卷
