5．（5分）方程x2+2xy+3y2＝34的整数解（x，y）的组数为（ ） A．3
B．4
C．5
D．6
【解答】解：方程变形得：（x+y）2+2y2＝34， ∵34与2y2是偶数， ∴x+y必须是偶数， 设x+y＝2t，
则原方程变为：（2t）2+2y2＝34， ∴2t2+y2＝17， 它的整数解为
，
则当y＝3，t＝2时，x＝1； 当y＝3，t＝﹣2时，x＝﹣7； 当y＝﹣3，t＝2时，x＝7； 当y＝﹣3，t＝﹣2时，x＝﹣1．
∴原方程的整数解为：（1，3），（﹣7，3），（7，﹣3），（﹣1，﹣3）共4组． 故选：B．
6．（5分）已知正方形ABCD的边长为1，E为BC边的延长线上一点，CE＝1，连接AE，与CD交于点F，连接BF并延长与线段DE交于点G，则BG的长为（ ） A．
B．
C．
D．
【解答】解：过点C作CP∥BG，交DE于点P． ∵BC＝CE＝1，
∴CP是△BEG的中位线， ∴P为EG的中点． 又∵AD＝CE＝1，AD∥CE， 在△ADF和△ECF中， ∵
，
∴△ADF≌△ECF（AAS）， ∴CF＝DF，又CP∥FG， ∴FG是△DCP的中位线，
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∴G为DP的中点． ∵CD＝CE＝1， ∴DE＝
，
．
因此DG＝GP＝PE＝DE＝连接BD，
易知∠BDC＝∠EDC＝45°， 所以∠BDE＝90°． 又∵BD＝∴BG＝故选：D．
，
＝
＝
．
7．（5分）已知实数a，b满足a2+b2＝1，则a4+ab+b4的最小值为（ ） A．
B．0
C．1
D．
【解答】解：∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2≥0， ∴2|ab|≤a2+b2＝1， ∴﹣≤ab≤，
令y＝a4+ab+b4＝（a2+b2）2﹣2a2b2+ab＝﹣2a2b2+ab+1＝﹣2（ab﹣）2+， 当﹣≤ab≤时，y随ab的增大而增大， 当≤ab≤时，y随ab的增大而减小，
故当ab＝﹣时，a4+ab+b4的最小值，为﹣2（﹣﹣）2+＝﹣2×即a4+ab+b4的最小值为0，当且仅当|a|＝|b|时，ab＝﹣，此时a＝﹣a＝
，b＝﹣
．
+＝0， ，b＝
，或
故选：B．
8．（5分）若方程x2+2px﹣3p﹣2＝0的两个不相等的实数根x1，x2满足
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，
则实数p的所有可能的值之和为（ ） A．0
B．
C．﹣1
D．
【解答】解：由一元二次方程的根与系数的关系可得x1+x2＝﹣2p，x1?x2＝﹣3p﹣2， ∴+∵
++
＝＝（x1+x2）[＝4﹣（
+
）得
﹣2x1?x2＝4p2+6p+4，
﹣3x1?x2]＝﹣2p（4p2+9p+6）． +
＝4﹣（
+
），
∴4p2+6p+4＝4+2p（4p2+9p+6）， ∴p（4p+3）（p+1）＝0， ∴p1＝0，p2＝﹣，p3＝﹣1．
代入检验可知：以p1＝0，p2＝﹣均满足题意，p3＝﹣1不满足题意． 因此，实数p的所有可能的值之和为p1+p2＝0+（﹣）＝﹣． 故选：B．
二、填空题（共8小题，每小题5分，共40分） 9．（5分）已知互不相等的实数a，b，c满足【解答】解：设a+＝t， 则b＝
，
+＝t，
，则t＝ ±1 ．
代入b+＝t，得：
整理得：ct2﹣（ac+1）t+（a﹣c）＝0 ① 又由c+＝t，可得ac+1＝at②， 把②代入①式得ct2﹣at2+（a﹣c）＝0， 即（c﹣a）（t2﹣1）＝0， 又∵c≠a， ∴t2﹣1＝0， ∴t＝±1． 验证可知：b＝
，c＝
时，t＝1； b＝﹣
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，c＝﹣时，t＝﹣1．
∴t＝±1． 故答案为：±1．
10．（5分）使得5×2m+1是完全平方数的整数m的个数为 1 ． 【解答】解：设5×2m+1＝n2 （其中n为正整数）， 则5×2m＝n2﹣1＝（n+1）（n﹣1）， ∵5×2m是偶数， ∴n为奇数，
设n＝2k﹣1（其中k是正整数）， 则5×2m＝4k（k﹣1）， 即5×2m2＝k（k﹣1）．
﹣
显然k＞1， ∵k和k﹣1互质， ∴
或
或
，
解得：k＝5，m＝4．
因此，满足要求的整数m只有1个． 故答案为：1．
11．（5分）在△ABC中，已知AB＝AC，∠A＝40°，P为AB上一点，∠ACP＝20°，则＝ ．
【解答】解：作AD⊥BC于点D，则点D是BC的中点，在△ABC外作∠CAE＝20°，则∠BAE＝60°，
作CE⊥AE，PF⊥AE，则CE＝CD（角平分线的性质）， 在△ACE和△ACD中，
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∴△ACE≌△ACD（HL）， 所以CE＝CD＝BC．
又因为PF＝PAsin∠BAE＝PAsin60＝所以 因此
AP＝BC， ＝
． ．
+
+
AP，PF＝CE，
故答案为：
12．（5分）已知实数a、b、c满足abc＝﹣1，a+b+c＝4，＝，则a2+b2+c2＝
．
【解答】解：∵abc＝﹣1，a+b+c＝4，
∴a2﹣3a﹣1＝a2﹣3a+abc＝a（bc+a﹣3）＝a（bc﹣b﹣c+1）＝a（b﹣1）（c﹣1）， ∴同理可得：又a+b+c＝4，∴
+，
，+
＝， ＝，
，
即（a﹣1）（b﹣1）（c﹣1）＝（a﹣1）+（b﹣1）+（c﹣1）， 整理得：（abc﹣ab﹣ac﹣bc+a+b+c﹣1）＝a+b+c﹣3， 将abc＝﹣1，a+b+c＝4代入得：ab+bc+ac＝﹣， 则a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2（ab+bc+ac）＝故答案为：
．
．
13．（5分）两条直角边长分别是整数a，b（其中b＜2011），斜边长是b+1的直角三角形的个数为 31 ．
【解答】解：∵两条直角边长分别是整数a，b（其中b＜2011），斜边长是b+1， ∴a2＝（b+1）2﹣b2＝2b+1． ∴a2为奇数，
∵b是整数，b＜2011，
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2019年浙江省温州中学自主招生数学试卷
