2019年浙江省温州中学自主招生数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．每道小题均给出了代号为A、B、C、D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1．（5分）设A．0
，则代数式x（x+1）（x+2）（x+3）的值为（ ） B．1
C．﹣1
D．2
2．（5分）对于任意实数a，b，c，d，定义有序实数对（a，b）与（c，d）之间的运算“△”为：（a，b）△（c，d）＝（ac+bd，ad+bc）．如果对于任意实数u，v，都有（u，v）△（x，y）＝（u，v），那么（x，y）为（ ） A．（0，1）
B．（1，0）
C．（﹣1，0）
，
D．（0，﹣1）
，
3．（5分）已知A，B是两个锐角，且满足则实数t所有可能值的和为（ ） A．
+
B．+
+……+
C．1
D．
4．（5分）设S＝A．4
，则4S的整数部分等于（ ） C．6
D．7
B．5
5．（5分）方程x2+2xy+3y2＝34的整数解（x，y）的组数为（ ） A．3
B．4
C．5
D．6
6．（5分）已知正方形ABCD的边长为1，E为BC边的延长线上一点，CE＝1，连接AE，与CD交于点F，连接BF并延长与线段DE交于点G，则BG的长为（ ） A．
B．
C．
D．
7．（5分）已知实数a，b满足a2+b2＝1，则a4+ab+b4的最小值为（ ） A．
B．0
C．1
D．
，
8．（5分）若方程x2+2px﹣3p﹣2＝0的两个不相等的实数根x1，x2满足则实数p的所有可能的值之和为（ ） A．0
B．
C．﹣1
D．
二、填空题（共8小题，每小题5分，共40分）
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9．（5分）已知互不相等的实数a，b，c满足，则t＝ ．
10．（5分）使得5×2m+1是完全平方数的整数m的个数为 ．
11．（5分）在△ABC中，已知AB＝AC，∠A＝40°，P为AB上一点，∠ACP＝20°，则＝ ．
12．（5分）已知实数a、b、c满足abc＝﹣1，a+b+c＝4，＝，则a2+b2+c2＝ ．
13．（5分）两条直角边长分别是整数a，b（其中b＜2011），斜边长是b+1的直角三角形的个数为 ．
14．（5分）一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8．同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为奇数5的概率是 ． 15．（5分）如图，双曲线
（x＞0）与矩形OABC的边CB，BA分别交于点E，F，且
+
+
AF＝BF，连接EF，则△OEF的面积为 ．
16．（5分）设四位数
满足a3+b3+c3+d3+1＝10c+d，则这样的四位数的个数为 ．
三、解答题（共4题，17、18每题15分，19、20每题20分，共70分）
17．（15分）如图，△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2AC．点P在△ABC内，且PA＝PB＝5，PC＝2，求△ABC的面积．
，
18．（15分）已知抛物线
的顶点为P，与x轴的正半轴交于A（x1，0）、B
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（x2，0）（x1＜x2）两点，与y轴交于点C，PA是△ABC的外接圆的切线．设M（0，若AM∥BC，求抛物线的解析式．
），
19．（20分）如图，PA为⊙O的切线，PBC为⊙O的割线，AD⊥OP于点D，证明：AD2
＝BD?CD．
20．（20分）若从1，2，3，…，n中任取5个两两互素的不同的整数a1，a2，a3，a4，a5，其中总有一个整数是素数，求n的最大值．
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参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．每道小题均给出了代号为A、B、C、D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1．（5分）设A．0
【解答】解：∵x＝∴2x＝2x+3＝
﹣3，
）2
，则代数式x（x+1）（x+2）（x+3）的值为（ ） B．1
，
C．﹣1
D．2
（2x+3）2＝（4x2+12x+9＝5， ∴x2+3x＝﹣1，
，
∴原式＝（x2+3x）（x2+3x+2） ＝﹣1×（﹣1+2） ＝﹣1； 故选：C．
2．（5分）对于任意实数a，b，c，d，定义有序实数对（a，b）与（c，d）之间的运算“△”为：（a，b）△（c，d）＝（ac+bd，ad+bc）．如果对于任意实数u，v，都有（u，v）△（x，y）＝（u，v），那么（x，y）为（ ） A．（0，1）
B．（1，0）
C．（﹣1，0）
D．（0，﹣1）
【解答】解：∵（u，v）△（x，y）＝（ux+vy，uy+vx）＝（u，v）， ∴ux+vy＝u，uy+vx＝v， ∵对于任意实数u，v都成立， ∴x＝1，y＝0， ∴（x，y）为（1，0）． 故选：B．
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3．（5分）已知A，B是两个锐角，且满足则实数t所有可能值的和为（ ） A．
B．
C．1
，，
D．
【解答】解：根据已知，得
，即2＝
∴3t2+5t﹣8＝0， ∴解得t1＝1，t2＝﹣， 又∵
＞0，即t＞0，
，
∴t2＝﹣不符合题意舍去， ∴t所有可能值的和为1． 故选：C． 4．（5分）设S＝A．4
【解答】解：∵S＝＜1+（＜1+（＝1++
+++[
）+（+
+
+……+
，则4S的整数部分等于（ ） C．6
++…+
+……+）+（
+…+）+…]，
）+…，
D．7
B．5 +
）+[4×（+
+
）+8×（+…]，
＝1+++＝1+++，
∴4S＝4++∵S＞1， ∴4S＞4， ∴4＜4S＜5，
+＜4+（++）＝5，
∴4S的整数部分为4． 故选：A．
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