单因素多个均数比较的方差分析（完全随机设计资料的方差分析）
方差分析的基本思想是：
将全部观察值的总变异按影响实验结果的诸因素分解为若干部分变异，构造出反映各部分变异作用的统计量，之后构造假设检验统计量F,实现对总体均数的判断。
方差分析的应用条件：各样本相互独立，且均来自总体方差具有齐性的正态分布。
完全随机设计是一种将研究对象随机地分配到处理因素各水平组的单因素设计方法。其研究目的是推断处理因素不同水平下的试验结果的差异有否统计学意义，即该处理因素是否对试验结果有本质影响。
下面以一个实例来说明完全随机设计方差分析的基本思想和假设检验步骤。 例：
为研究烫伤后不同时期切痂对肝脏ATP(u/L)含量的影响，将30只大鼠随机分3组，每组10只，分别接受不同的处理，试根据下表资料说明大鼠烫伤后不同时期切痂对其肝脏的ATP(u/L)含量是否有影响
大鼠烫伤后不同时期切痂肝脏ATP含量(u/L)
烫伤对照组 24h切痂组 96h切痂组 合计
合计（∑X） （∑∑Xij）
例数（n） 10 10 10 30（N） 均数（
X）
平方和（∑X2） (∑∑Xij2)
1.建立检验假设，确定检验水准：
H0：u1=u2=u3,3个总体均数全相等,即3组大鼠肝脏的ATP含量值无差别；
H1：u1,u2,u3，3个总体均数不相等.即3组大鼠肝脏的ATP含量值有差别； a=
2.计算检验统计量并列出方差分析表：
①.计算离均数差平方和SS：首先计算每一组的合计、均数、平方和，再计算综合计数 （∑Xij2），由表得： ∑∑Xij= ∑Xij2= N=30
2 (∑X)ij
总的离均数差平方和SS总=∑Xij2 － n = － 错误! =
(∑Xij)2 (∑Xij)2
SS组间=∑n－n= 错误! + 错误! + 错误!－ 错误!=
i
SS组内=SS总－ SS组间 = － =
②.计算均方MS：
SS组间
MS组间 = k-1(k为组数) = 错误!= SS组内
MS组内 = N-k(N为总例数) = 错误!= ③.求F值
MS组间
F = = 错误!=
MS组内
将上述计算结果列成方差分析表，如下：
变异来源 平方和SS 自由度v 均方MS F值 总变异 29
组间变异 2 组内变异（误差) 27
（注：自由度：v总= N－1 = 30－1= 29；v组间= k－1 = 3－1 = 2; v组内=N－k = 30－3= 27）
利用SPSS作方差分析时，会得到类似于以下的方差分析表：
CON
95% Confidence Interval for Mean Std. 1 2 3 Total
N 10 10 10 30 Mean Deviation Std. Error .57176 .88229 .38715 .51729 Lower Bound Upper Bound Minimum Maximum Descriptives
CON Levene Statistic
df1 2 df2 27 Sig. .225 Test of Homogeneity of Variances
CON
Sum Between Groups Within Groups Total
Squares of df 2 27 29 Mean Square F Sig. .000 ANOVA
3.查表确定P值，并作出统计推断：
V组间= 2， v组内=27, 得界限值Fα（2,27）为（2,27）= , 则F= > （2,27），
则P<，按水准，拒绝H0，可以认为3个总体均数不全相同，即3组大鼠肝脏的ATP含量值有差别。
多个样本均数间的两两比较
均数间的两两比较根据研究设计的不同分为两种类型 ： 一种常见于探索性研究，在研究设计阶段并不明确哪些组别之间的对比是更为关注的，也不明确哪些组别问的关系已有定论、无需再探究，经方差分析结果提示 “ 概括而言各组均数不相同”后，对每一对样本均数都进行比较，从中寻找有统计学意义的差异： 另一种是在设计阶段根据研究目的或专业知识所决定的某些均数问的比较．常见于证实性研究中多个处理组与对照组 、施加处理后的不同时间点与处理前比较。最初的设计方案不同．对应选择的检验方法也不同． 下面分述两种不同设计均数两两比较的方法选择。
1、事先计划好的某对或某几对均数间的比较：
适用于证实性研究。在设计时就设定了要比较的组别，其他组别间不必作比较。常用的方法有 ：
Dunnett-t 检验 、LSD-t 检验 (Fisher ’s least significant difference t test) 。这两种方法不管方差分析的结果如何——即便对于 P稍大于检验水准， 也可进行所关心组别间的比较。
即最小显著差法 ． 是
1935年提出的， 多用于检验某一对或
某几对在专业上有特殊探索价值的均数间的两两比较,并且在多组均数的方差分析没有推翻无效假设
时也可以应用。
式中和为两个对比组第 i 组与第j 组的样本均数和样本含量。
统计量将两独立样本 t 检验的均方部分 ( 计算统计量时的分母
) 进行适当的调整 ，
和自由度通过方差分析中的误差均方
用合并方差
，自由度
和
来
来估计，而两独立样本的 t检验中
计算 ， 然后根据 t界值来确定P值，作出统计推断。 该方法实质上就是 t检验， 检验水准无需作任何修正,只是在标准误的计算上充
分利用了样本信息，为所有的均数统一估计出一个更为稳健的标准误， 因此它一般用于事先就已经明确所要实施对比的具体组别的多重比较。由于该方法本质思想与 t 检验相同， 所以只适用于两个相互独立的样本均数的比较。LSD法单次比较的检验水准仍为 ， 因此可以认为该方法是最为灵敏的两两比较方法.另一 方面,由于LSD法侧重于减少第Ⅱ类错误， 势必导致此法在突出组间差异的同时,有增大I类错误的倾向。
Duncan 1955年在Newman及Keuls的复极差法(muhiple range method)基础上提出，该方法与Tukey法相类似。适用于个试验组与一个对照组均数差别的多重比较，多用于证实性研究。 Dunnett-t统计量的计算公式与LSD-t检验完全相同。
实验组和对照组的样本均数和样本含量。需特别指出的是Dunnett—t检验有专 门的界值表，不同于t检验的界值表 。
一般认为，比较组数k≥3时，任何两个样本的平均数比较会牵连到其它平均数的对比关系，而使比较数再也不是两个相互独立的样本均数的比较．这是LSD-t无法克服的缺点。Dunnett—t针对这一问题提出．在同一显著水平上两个均数的最小显著差数随着这二个平均数在多个平均数中所占的极差大小而不同，根据不同平均数间的对比关系来调整相应的显著差别(critical range)的大小。
2、多个均数的两两事后比较：
适用于探索性研究，即各处理组两两问的对比关系都要回答，一般要将各组均数进行两两组合，分进行检验。常用的方法有：SNK-q(Student-Newman-Keuls q)法、Duncan法、Tukey法和Scheffe法。值得注意的是，这几种方法对数据有具体的要求和限制。
对于SNK-q检验，检验的统计量是q，所以又称为q检验。该检验统计量的计算公式为：
统计：完全随机设计资料的方差分析（多个样本均数间的两两比较）
