2复数的四则运算
复数的加法与减法
已知复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)．
问题1：多项式的加减实质是合并同类项，类比想一想复数如何加减．
提示：两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i.
问题2：类比向量的加法，复数的加法满足交换律和结合律吗？ 提示：满足．
1．加(减)法法则
设a＋bi与c＋di(a，b，c，d∈R)是任意复数，则：(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i. 2．运算律
对任意的z1，z2，z3∈C，有
z1＋z2＝z2＋z1(交换律)；
(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)(结合律).
复数的乘法
问题1：复数的加减类似于多项式加减，试想：复数相乘是否类似两多项式相乘？ 提示：类似．
问题2：复数的乘法是否满足交换律、结合律，以及乘法对加法的分配律？ 提示：满足．
问题3：试举例验证复数乘法的交换律．
提示：若z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)．
z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i， z2z1＝(c＋di)(a＋bi)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.
故z1z2＝z2z1.
复数的乘法
(1)定义：(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. (2)运算律：
①对任意z1，z2，z3∈C，有
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交换律 结合律 乘法对加法的分配律 z1·z2＝z2·z1 (z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3) z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3 mnm＋n②复数的乘方：任意复数z，z1，z2和正整数m，n，有zz＝z＝z1z2.
nn，(z)＝z，(z1z2)
mnmnn 共轭复数
观察下列三组复数： (1)z1＝2＋i；z2＝2－i； (2)z1＝3＋4i；z2＝3－4i； (3)z1＝4i；z2＝－4i.
问题1：每组复数中的z1与z2有什么关系？ 提示：实部相等，虚部互为相反数．
问题2：试计算每组中的z1z2，你发现了什么规律吗？ 提示：z1与z2的积等于z1的实部与虚部的平方和．
共轭复数
当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这样的两个复数叫作共轭复数．复数z的共轭复数用z来表示，也就是当z＝a＋bi时，z＝a－bi.于是zz＝a＋b＝|z|.
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复数的除法
我们知道实数的除法是乘法的逆运算，类似地，复数的除法也是复数乘法的逆运算，给出两个复数a＋bi，c＋di(c＋di≠0)．若(c＋di)(x＋yi)＝a＋bi，则x＋yi＝数a＋bi除以c＋di的商．
问题1：根据乘法运算法则和复数相等的概念，请用a，b，c，d表示出x，y. 提示：由(c＋di)(x＋yi)＝a＋bi得
a＋bi
叫作复c＋di
xc－yd＋(xd＋yc)i＝a＋bi.
?xc－yd＝a，?即???xd＋yc＝b.
ac＋bdx＝??c＋d，∴?bc－ady＝??c＋d.2
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问题2：运用上述方法求两个复数的商非常繁琐，有更简便的方法求两个复数的商吗？
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提示：可以用分母的共轭复数同乘分子与分母后，再进行运算．
复数的除法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)， 则＝
z1a＋biac＋bdbc－ad＝＋i(c＋di≠0)．
z2c＋dic2＋d2c2＋d2
1．复数的加法、减法和乘法与多项式的加法、减法和乘法相类似，但应注意在乘法中必须把i换成－1，再把实部、虚部分别合并．
2．复数的除法和实数的除法有所不同，实数的除法可以直接约分、化简得出结果；而复数的除法是先将两复数的商写成分式，然后分母实数化(分子、分母同乘分母的共轭复数)．
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复数的加减运算 [例1] 计算：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)； (2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]； (3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a，b∈R)． [思路点拨] 利用复数加、减运算的法则计算． [精解详析] (1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i) ＝(4－2i)－(5＋6i)＝－1－8i.
(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]＝5i－(4＋i)＝－4＋4i.
(3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝(a－2a)＋[b－(－3b)－3]i＝－a＋(4b－3)i. [一点通] 复数加、减运算的方法技巧：
(1)复数的实部与实部相加、减，虚部与虚部相加、减； (2)把i看作一个字母，类比多项式加、减中的合并同类项．
1．计算：(1＋2i)＋(－2－3i)－(3－2i)． 解：(1＋2i)＋(－2－3i)－(3－2i) ＝[－1＋(2－3)i]－(3－2i) ＝－4＋(2＋2－3)i.
2．若(3－10i)y＋(－2＋i)x＝1－9i，求实数x，y的值． 解：原式化为3y－10yi＋(－2x＋xi)＝1－9i. 即(3y－2x)＋(x－10y)i＝1－9i.
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高中数学第四章数系的扩充与复数的引入2复数的四则运算教案含解析北师大版选修1_2
