第一部分 机器人手臂的自适应神经网络控制
机器人是一具有高度非线性和不确定性的复杂系统，近年来各研究单位对机器人智能控制的研究非常热门，并已取得相当丰富的成果。
机器人轨迹跟踪控制系统的主要目的是通过给定各关节的驱动力矩，使得机器人的位置、速度等状态变量跟踪给定的理想轨迹。与一般的机械系统一样，当机器人的结构及其机械参数确定后，其动态特性将由动力学方程即数学模型来描述。因此，可采用经典控制理论的设计方法——基于数学模型的方法设计机器人控制器。但是在实际工程中，由于机器人模型的不确定性，使得研究工作者很难得到机器人精确的数学模型。
采用自适应神经网络，可实现对机器人动力学方程中未知部分的精确逼近，从而实现无需建模的控制。下面将讨论如何利用自适应神经网络和李雅普诺夫（Lyapunov）方法设计机器人手臂跟踪控制的问题。
1、控制对象描述：
选二关节机器人力臂系统（图1），其动力学模型为：
图1 二关节机器人力臂系统物理模型
M(q)q?V(q,q)q?G(q)?F?q??τd?τ （1）
其中
?p1?p2?2p3cosq2M(q)???p2?p3cosq2p2?p3cosq2???p3q2sinq2，V(q,q)???pqsinqp22??31?p3(q1?q2)sinq2? ?0?自适应神经网络控制课程论文
?p4gcosq1?p5gcos(q1?q2)?Tτ?0.2sint0.2sint??，， Fq?0.02sgnqG(q)??????????d???。pgcos(q?q)512??其中，q为关节转动角度向量，
M?q?为2乘2维正定惯性矩阵，
V?q,q?为
2乘2维向心哥氏力矩，G?q?为2维惯性矩阵，F?q?为2维摩擦力矩阵，τd为未知有界的外加干扰，τ为各个关节运动的转矩向量，即控制输入。
已知机器人动力学系统具有如下动力学特性： 特性1：惯量矩阵M(q)是对称正定阵且有界； 特性2：矩阵
V?q,q?有界；
特性3：M?q??2C?q,q?是一个斜对称矩阵，即对任意向量ξ，有
ξT
?M?q??2C?q,q??ξ?0 (2)
τd?bd，bd为正常数。
特性4：未知外加干扰τd满足
2p??p1,p2,p3,p4,p5???2.9,0.76,0.87,3.04,0.87kgm?我们取，两个关节的位置
指令分别为q1d?0.1sin?t?，q2d?0.1cos?t?，即设计控制器驱动两关节电
机使对应的手臂段角度分别跟踪这两个位置指令。
2、传统控制器的设计及分析：
定义跟踪误差为：
e?t??qd?t??q?t? （3）
定义误差函数为：
r?e??e （4）
其中???T?0。
则
q??r?qd??e
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Mr?M?qd?q??e??M?qd??e??Mq?M?qd??e??Vq?G?F?τd?τ?M?qd??e??Vr?V?qd??e??G?F?τd?τ??Vr?τ?f?τd其中，f为包含机器人模型信息的非线性函数。f表示为
（5）
f?x??M?qd??e??V?qd??e??G?F （6）
在实际工程中，M?q?，V?q,q?，G?q?和F?q?往往很难得到精确的结果，导致模型不确定项f?x?为未知。
f?x?为了设计控制器，需要对不确定项设计控制律为
?为f的逼近值。进行逼近，假设f? τ?f?Kvr （7） 将控制律式（7）代入式（5），得
??Kr?f?τMr??Vr?fvd???Kv?V?r?f?τd???Kv?V?r??0 （8）
?，?0?f?τd。 其中f为针对f的逼近误差，f?f?f如果定义Lyapunov函数 则
11L?rTMr?rTMr??rTKvr?rT?M?2V?r?rT?022
L?1TrMr2 （9）
L?rT?0?rTKvr
?对f的逼近精度这说明在Kv固定条件下，控制系统的稳定依赖于?0，即f及干扰τd的大小。
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3、基于RBF神经网络逼近的机器人手臂控制
1）．基于RBF网络的逼近算法
已经证明，采用RBF网络可以实现对任意连续函数的精确逼近。因此，可以采用RBF网络实现对不确定项f的逼近。
在RBF网络结构中，取X?x1,x2,....xnT为网络的输入向量。设RBF网络的径向基向量H??h1,?,hm?T，其中hj为高斯基函数：
??hj?exp(-X-Cj2b2j2),j?1,2,m. （10） 其中网络第j个结点的中心矢量为Cj?cj1,?,cjn，i?1,2,?,n。
假设存在权值W，逼近函数f?x?的理想RBF网络输出为：
??f?Wh?x??ε?x? （11）
其中W网络的权向量，h??h1,h2hn?，ε?x?为逼近误差，ε?x??εN?x?。
考虑式（6），针对f?x?中包含的信息，逼近函数f?x?的RBF网络输入取：
TX??e?eTqTdqTd?qTd? （12）
2）．基于RBF网络的控制器和自适应律设计 定义RBF神经网络的实际输出为：
??x??W?Th?x? （13） f 取
? （14） W?W?W 控制律和自适应律设计为：
?Th?x??Kr?v （15） τ?Wv??Fh?x?rT （16） W其中F为对称正定阵，F?FT?0。
将式（11）、式(13)和式（15）代入式（5），得
Mr???Kv?Vm?r?WTφ?x???ε?τd??v???Kv?Vm?r??1 （17）
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其中?1?WTh?x???ε?τd??v，v为用于克服神经网络逼近误差ε和干扰τd的鲁棒项。
将鲁棒项v设计为：
v????N?bd?sgn?r? （18）
其中sgn为符号函数。
?1?sgn?r???0??1?r?0r?0 （19） r?0 3）. 稳定性及收敛性分析
针对n个关节的神经网络控制，定义Lyapunov函数为：
11L?rTMr?trWTF?1W （20）
22??其中tr???为矩阵的迹，其定义为：设A是n阶方阵，则称A的主对角元素的和为A的迹，记作tr?A?。则
1L?rTMr?rTMr?trWTF?1W
2??将式（17）代入上式，得
1L??rTKvr?rT?M?2Vm?r?trWTF?1W?hrT?rT?ε?τd?v? （21）
2??将式（2）和式（16）代入上式，得
L??rTKvr?rT?ε?τd?v?
下面分两种情况进行讨论。 （1）不考虑鲁棒项，取v?0，则
L??rTKvr?rT?ε?τd???Kvminr???N?bd?r
2如果要使L?0，则需要满足：
r???N?bd?/Kvmin （22）
如果满足L?0，由于L?0，且M(q)有界，则由L表达式可知，r?t?、W?都有界。由r?t?有界可知，跟踪误差e?t?及其导数e?t?都有界，从而q和q和W有界，且跟踪误差e?t?及其导数e?t?的收敛值随神经网络逼近误差上界?N和干扰上界bd的增大而增大，并可通过增大Kv的值达到任意小。
（2）考虑鲁棒项，v取式（18），则
rT?ε?τd?v??rT?ε?τd??rTv?rT?ε?τd??r??N?bd??0
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机器人神经网络控制汇总
