第二章 函数概念与基本初等函数
第1节 函数及其表示
【最新考纲】 1.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域,了解映射的概念;2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数;3.了解简单的分段函数,并能简单地应用(函数分段不超过三段). 高考会这样考 1.考查函数的定义域、值域、解析式的求法;2.考查分段函数的简单应用;3.由于函数的基础性强,渗透面广,所以会与其他知识结合考查.
要 点 梳 理
1.函数与映射的概念
两个集合A,B 函数 设A,B是两个非空数集 如果按照某种确定的对应关对应关系f:A→B 映射 设A,B是两个非空集合 如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一个元素x,在集合B中都有一确定的数f(x)和它对应 唯一确定的元素y与之对应 称f:A→B为从集合A到集合B的一个映射 映射:f:A→B 名称 记法 称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数 函数y=f(x),x∈A 2.函数的定义域、值域
(1)在函数y=f(x),x∈A中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域. (2)如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,则这两个函数为相等函数.
3.函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法. 4.分段函数
(1)若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来
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表示,这种函数称为分段函数.
(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于各段函数的值域的并集,分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数. [友情提示]
1. 函数的三要素
函数的三要素是:定义域、值域和对应关系.值域是由函数的定义域和对应关系所确定的.两个函数的定义域和对应关系完全一致时,则认为两个函数相等. 2. 函数与映射
(1)函数是特殊的映射,其特殊性在于集合A与集合B只能是非空数集,即函数是非空数集A到非空数集B的映射.
(2)映射不一定是函数,从A到B的一个映射,A、B若不是数集,则这个映射便不是函数. 3. 函数的定义域
(1)解决函数问题,函数的定义域必须优先考虑; (2)求复合函数y=f(t),t=q(x)的定义域的方法:
①若y=f(t)的定义域为(a,b),则解不等式得a 基 础 自 测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y=1与y=x0是同一个函数.( ) (2)对于函数f:A→B,其值域是集合B.( ) (3)f(x)=x-3+2-x是一个函数.( ) (4)若两个函数的定义域与值域相同,则这两个函数相等.( ) 解析 (1)错误.函数y=1的定义域为R,而y=x0的定义域为{x|x≠0},其定义域不同,故不是同一函数. (2)错误.值域C?B,不一定有C=B. (3)错误.f(x)=x-3+2-x中x不存在. (4)错误.若两个函数的定义域、对应法则均对应相同时,才是相等函数. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)× 2 2.若函数y=f(x)的定义域为M={x|-2≤x≤2},值域为N={y|0≤y≤2},则函数y=f(x)的图象可能是( ) 解析 A中函数定义域不是[-2,2];C中图象不表示函数;D中函数值域不是[0,2]. 答案 B -x2-x+2 3.函数y=的定义域为( ) ln xA.(-2,1) 2 B.[-2,1] C.(0,1) D.(0,1] -x-x+2≥0,?? 解析 由?ln x≠0,解得0 ??x>0,答案 C ?1+log2(2-x),x<1, 4.设函数f(x)=?x-1则f(-2)+f(log212)=( ) ?2,x≥1,A.3 B.6 C.9 D.12 解析 根据分段函数的意义, f(-2)=1+log2(2+2)=1+2=3.又log212>1, ∴f(log212)=2(log212-1)=2log26=6,因此f(-2)+f(log212)=3+6=9. 答案 C 5.已知函数f(x)=ax3-2x的图象过点(-1,4),则a=________. 解析 由题意知点(-1,4)在函数f(x)=ax3-2x的图象上,所以4=-a+2,则a=-2. 答案 -2 题型分类 考点突破 考点一 求函数的定义域 9-x2【例1】 (1)函数y=的定义域是( ) log2(x+1)A.(-1,3) B.(-1,3] C.(-1,0)∪(0,3) D.(-1,0)∪(0,3] 3