2024人教版精品教学资料·高中选修数学
第一章 导数及其应用
1.1 变化率与导数 1.1.1 变化率问题
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知函数y＝x＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为( ) A．0.40 B．0.41 C．0.43 D．0.44 解析：Δy＝(2＋0.1)＋1－(2＋1)＝0.41. 答案：B
2．物体的运动规律是s＝s(t)，物体在t至t＋Δt这段时间内的平均速度是( ) －
s（t）
A.v＝
－B.v＝－D.v＝
2
2
2
ts（Δt）
Δts（t＋Δt）
Δt－
ΔsC.v＝ Δt－
s（t＋Δt）－s（t）Δs解析：v＝＝.
ΔtΔt答案：C
3．一运动物体的运动路程s(t)与时间x的函数关系为s(t)＝－t＋2t，则s(t)从2到2＋Δt的平均速度为( )
A．2－Δt C．2＋Δt
2
2
B．－2－Δt D．(Δt)－2Δt
2
解析：因为s(2)＝－2＋2×2＝0，
所以s(2＋Δt)＝－(2＋Δt)＋2(2＋Δt)＝－2Δt－(Δt)， 所以
2
2
s（2＋Δt）－s（2）
＝－2－Δt.
2＋Δt－2
答案：B
4．将半径为R的球加热，若球的半径增加ΔR，则球的表面积的增加量ΔS等于( ) A．8πRΔR
C．4πRΔR＋4π(ΔR)
2
2
2
B．8πRΔR＋4π(ΔR) D．4π(ΔR)
2
2
2
解析：ΔS＝4π(R＋ΔR)－4πR＝8πRΔR＋4π(ΔR). 答案：B
Δy2
5．已知函数f(x)＝2x－1的图象上一点(1，1)及邻近一点(1＋Δx，f(1＋Δx))，则
Δx＝( )
A．4 C．4＋2Δx
B．4＋2(Δx) D．4x
2
Δy22
解析：Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)－1－2＋1＝2×(Δx)＋4×Δx，所以＝2
ΔxΔx＋4.
答案：C 二、填空题
11
6．在x＝2附近，Δx＝时，函数y＝的平均变化率为________．
4x11－Δy2＋Δx212
解析：＝＝－＝－.
ΔxΔx4＋2Δx92
答案：－
9
1?11???7．已知曲线y＝－1上两点A?2，－?，B?2＋Δx，－＋Δy?，当Δx＝1时，割线AB2?2x???的斜率为________．
1Δy1?1??1?解析：因为Δx＝1，所以2＋Δx＝3，Δy＝?－1?－?－1?＝－.所以kAB＝＝－.
6Δx6?3??2?1
答案：－
6
1
8．函数y＝2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为________．
x11
解析：因为Δy＝2－2，
（x0＋Δx）x0
1
所以y＝2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率0为
x11
－22
Δy（x0＋Δx）x02x0＋Δx＝＝－22. ΔxΔx（x0＋Δx）x02x0＋Δx答案：－22
（x0＋Δx）x0三、解答题
9．比较函数f(x)＝2与g(x)＝3，当x∈时，平均增长率的大小． 解：设f(x)＝2在x∈时的平均增长率为k1，
xxx则k1＝
f（2）－f（1）
2－1
x＝2.
设g(x)＝3在x∈时的平均增长率为k2， 则k2＝
g（2）－g（1）
2－1
＝6.
因为k1 10．若函数f(x)＝－x＋x在(Δx＞0)上的平均变化率不大于－1，求Δx的范围． 解：因为函数f(x)在上的平均变化率为： Δyf（2＋Δx）－f（2） ＝ ΔxΔx－（2＋Δx）＋（2＋Δx）－（－4＋2） ＝ Δx－4Δx＋Δx－（Δx） ＝＝－3－Δx， Δx所以由－3－Δx≤－1，得Δx≥－2. 又因为Δx＞0，所以Δx的取值范围是(0，＋∞)． B级 能力提升 123 1．在x＝1附近，取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x、②y＝x、③y＝x、④y＝中，平均2 2 2 x变化率最大的是( ) A．④ B．③ C．② D．① 解析：Δx＝0.3时，①y＝x在x＝1附近的平均变化率k1＝1；②y＝x在x＝1附近的平均变化率k2＝2＋Δx＝2.3；③y＝x在x＝1附近的平均变化率k3＝3＋3Δx＋(Δx)＝3.99；1110④y＝在x＝1附近的平均变化率k4＝－＝－.所以k3＞k2＞k1＞k4. x1＋Δx13 答案：B 2．设C是成本，q是产量，且C(q)＝3q＋10，若q＝q0，则产量增加量为10时，成本增加量为________． 解析：ΔC＝C(q0＋10)－C(q0)＝3(q0＋10)＋10－ (3q0＋10)＝3(q0＋20q0＋100)－3q0＝60q0＋300. 答案：60q0＋300 3．路灯距地面8 m，一个身高为1.6 m的人以84 m/min的速度在地面上从路灯在地面上的射影点C处沿直线匀速离开路灯． (1)求身影的长度y与人距路灯的距离x之间的关系式； (2)求人离开路灯10 s内身影的平均变化率． 解：(1)如图所示，设人从C点运动到B处的路程为xm，AB为身影长度，AB的长度为ym， 2 2 2 22 3 2 2 由于CD//BE，则 ABBE＝， ACCD 即 1.6＝， y＋x8 y1 所以y＝f(x)＝x. 4 (2)84 m/min＝1.4 m/s，在内自变量的增量为 x2－x1＝1.4×10－1.4×0＝14， f(x2)－f(x1)＝×14－×0＝. 7 f（x2）－f（x1）21所以＝＝. x2－x1144 1 即人离开路灯10 s内身影的平均变化率为. 4 14 14 72
2024人教版 高中数学 选修2-2习题 第一章 导数及其应用 1.1.1变化率问题
