2?3=2?3
这是什么道理呢？
事实上，根据积的乘方法则，有
(2?3)2?(2)2?(3)2?2?3，
并且2?3＞0，
所以2?3是2×3的算术平方根，即
2?3=2?3
一般地，有
． a?b?ab（a≥0，b≥0）
这就是说，两个二次根式相乘，将它们的被开方数相乘．
注意，在上式中，a、b都表示非负数．在本章中，如果没有特别说明，字母都表示正数．
例1
计算：
（1）7?6；（2）
1?32． 2解（1）7?6?7?6?42．
（2）
11?32??32?16?4． 222．积的算术平方根
上面得到的等式a?b?，也可以写成 ab（a≥0，b≥0）
． ab?a?b（a≥0，b≥0）
这就是说，积的算术平方根，等于各因式算术平方根的积．
利用这个性质可以进行二次根式的化简．
例2
化简，使被开方数不含完全平方的因式（或因数）：
（1）12；（2）4a3；（3）a4b．
解（1）12?22?3
?22?3 ?23．
（2）4a3?4?a2?a
?2a2?a ?2aa．
（3）a4b?a4?b
?(a2)2?b
?a2b．
例2各题中给出的二次根式，被开方数的因式中有一些幂的指数不小于2，即含有完全平方的因式（或因数），如（1）中12?2?3，（2）中4a?2?a?a，（3）中a4b?(a2)2?b，通常可根据积的算术平方根的性质，并利用a2?a（a≥0），将这个因式（或因数）“开方”出来．
2322做一做
计算下列各式，并将所得的结果化简： （1）3?6；（2）3a?15a．
3．二次根式的除法
讨论
两个二次根式相除，怎样进行呢？商的算术平方根又等于什么？试参考前两小节的研究，和同伴讨论，提出你的见解．
概括
一般地，有
ab． ?________（a≥0，b＞0）
这就是说，两个二次根式相除，___________________________．
例3
（1）
计算：
153；（2）
246．
解 （1）
153??15?5． 3（2）
24624?4?2． 6小题（2）也可先将分子化简为26，从而容易算得结果． 上面得到的等式，也可以写成
ab． ?______（a≥0，b＞0）
这就是说，商的算术平方根，等于__________________．
利用这个性质可以进行二次根式的化简．
例4
化简
12．（要求分母中不含二次根式，并且二次根式中不含分母）
解
12?11?2222． ????2222?222212的被开方数中含有分母，通常可利用分式的基本性质将它配成完全平方
这里，二次根式
数，再“开方”出来．
按照例2和例4的要求化简后的二次根式，被开方数中不含分母，并且被开方数中所有因式的幂的指数都小于2，像这样的二次根式称为最简二次根式．
二次根式的除法，也可采用化去分母中根号的办法来进行，只要将分子、分母同乘以一个恰当的因式（也是二次根式）就可以了．如例4，将分子、分母同乘以2，得
12?1?22?2?2(2)2?2． 2练习
1．化简：
（1）27；（2）25a3；（3）2．计算：
（1）21?35；（2）2b?6b；（3）
13；（4）
2． 5820；（4）
65a39a．
3．现有一张边长为5cm的正方形彩纸，欲从中剪下一个面积为其一半的正方形，问剪下的
正方形边长是多少？（答案先用最简二次根式表示，再算出近似值，精确到0.01）
习题22.2
1．化简：
（1）250；（2）32x4；（3）2．计算：
147；（4）
5． 6（1）18?30；（2）3?2；（3）8ab?6ab3； 75（4）
4098；（5）
20?15；（6）
2x38x．
3．某液晶显示屏的对角线长36cm，其长与宽之比为4∶3，试求该液晶显示屏的面积． 4．本章导图中给出了第一宇宙速度的计算公式：??gR，其中g通常取9.8米/秒2，R
约为6370千米．试计算第一宇宙速度．（结果用科学记数法表示，并保留两个有效数字）
§22.3 二次根式的加减法
试一试
计算：
（1）33?23；（2）3a?2a?4a．
概括
与整式中同类项的意义相类似，我们把像33与?23，3a、?2a与4a这样的几个二次根式，称为同类二次根式．
二次根式的加减，与整式的加减相类似，关键是将同类二次根式合并．
例1 解
计算：32?3?22?33．
32?3?22?33
?(32?22)?(3?33) ?2?23． 思考
计算：8?18?12．
分析
先将各二次根式化简：
8?4?2?4?2?22， 18?______________________， 12?______________________． 解
8?18?12
=22?________+___________
=____________________．
二次根式相加减，先把各个二次根式化简，再将同类二次根式合并．
例2
计算：
（1）27?12?45；（2）
25x?16x?9x． 4解 （1）27?12?45
?33?23?35 ?3?35．
（2）
25x?16x?9x 45x?4x?3x 25?(?4?3)x 27?x． 2例3 计算： ?（1）(2?1)(2?1)； （2）(a?2b)(a?2b)．
解 （1）(2?1)(2?1)
?(2)2?12?2?1?1．
（2）(a?2b)(a?2b)
?(a)2?(2b)2?a?2b． 练习
1．下列各组里的二次根式是不是同类二次根式？
（1）212，27；（2）50，38；
（3）2ab，38ab；（4）3a2b，27ab2．
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