第22章 二次根式 ................................................................................... 2 §22.1 二次根式 ............................................................................. 3 阅读材料 ........................................................................................ 5 §22.2 二次根式的乘除法 ................................................................ 5 1.二次根式的乘法 ...................................................................... 5 2.积的算术平方根 ...................................................................... 6 3.二次根式的除法 ...................................................................... 7 §22.3 二次根式的加减法 ................................................................... 9 小结 ..................................................................................................... 12 复习题 ................................................................................................. 12
第22章 二次根式
人造地球卫星要冲出地球,围绕地球运行,发射时必须达到一定的速度,这个速度称为第一宇宙速度.计算第一宇宙速度的公式是
??gR,
其中g为重力加速度,R为地球半径.
§22.1 二次根式
在第12章我们学习了平方根和算术平方根的意义,引进了一个记号a.
回顾
当a是正数时,a表示a的算术平方根,即正数a的正的平方根. 当a是零时,a等于0,它表示零的平方根,也叫做零的算术平方根. 当a是负数时,a没有意义.
概括
a(a≥0)表示非负数a的算术平方根,也就是说,a(a≥0)是一个非负数,它的平
方等于a.即有: (1)a≥0(a≥0); (2)(a)2=a(a≥0).
形如a(a≥0)的式子叫做二次根式.
注意
在二次根式a中,字母a必须满足a≥0,即被开方数必须是非负数.
例 分析 解
x是怎样的实数时,二次根式x?1有意义?
要使二次根式有意义,必须且只须被开方数是非负数. 被开方数x-1≥0,即x≥1.
所以,当x≥1时,二次根式x?1有意义.
思考
a2等于什么?
我们不妨取a的一些值,如2,-2,3,-3,……分别计算对应的a2的值,看看有什么规律:
22=4=2;
(?2)2=4=2;
32=9=3;
(?3)2=9=3;
……
概括
当a≥0时,a2?a; 当a<0时,a2??a.
这是二次根式的又一重要性质.如果二次根式的被开方数是一个完全平方,运用这个性质,可以将它“开方”出来,从而达到化简的目的.例如:
4x2?(2x)2=2x(x≥0);
x4?(x2)2?x2.
练习
1.计算:
(1)(8)2;(2)(9)2;(3)81;(4)100. 2.x是怎样的实数时,下列二次根式有意义? (1)x?3;(2)2x?5;(3)
51;(4).
1?xx3.(a)2与a2是一样的吗?说说你的理由,并与同学交流.
习题22.1
1.x是怎样的实数时,下列二次根式有意义? (1)x?1;(2)3x?2;(3)2.计算: (1)(7)2;(2)(31;(4). 2x?13?2x224(3);(4)9a4. );3923.已知2<x<3,化简:(x?2)?x?3. 4.边长为a的正方形桌面,正中间有一个边长为
a的正方形方孔.若沿图中虚线锯开,可3以拼成一个新的正方形桌面.你会拼吗?试求出新的正方形边长.
(第4题)
阅读材料
蚂蚁和大象一样重吗
同学们一定听过蚂蚁和大象进行举重比赛的故事吧!蚂蚁能举起比它的体重重许多倍的火柴棒,而大象举起的却是比自己体重轻许多倍的一截圆木,结果蚂蚁获得了举重冠军!
我们这里谈论的话题是: 蚂蚁和大象一样重吗?我们知道,即使是最大的蚂蚁与最小的大象,它们的重量明显不是一个数量级的.但是下面的“推导”却会让你大吃一惊: 蚂蚁和大象一样重!
设蚂蚁重量为x克,大象的重量为y克,它们的重量和为2a克,即
x+y=2a.
两边同乘以(x-y),得
(x+y)(x-y)=2a(x-y). 即
2
x2?y2?2ax?2ay. x2?2ax?y2?2ay. (x?a)2?(y?a)2.
(x?a)2?(y?a)2,
可变形为
两边都加上a,得 于是 可得 所以
x?a?y?a, x?y.
这里竟然得出了蚂蚁和大象一样重的结论,岂不荒唐!那么毛病究竟出在哪里呢?亲爱的同学,你能找出来吗?
§22.2 二次根式的乘除法
1.二次根式的乘法
计算:
(1)4?25与4?25; (2)16?9与16?9.
思考
对于2?3与2?3呢? 从计算的结果我们发现,
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