第22章 二次根式 ................................................................................... 2 §22.1 二次根式 ............................................................................. 3 阅读材料 ........................................................................................ 5 §22.2 二次根式的乘除法 ................................................................ 5 1．二次根式的乘法 ...................................................................... 5 2．积的算术平方根 ...................................................................... 6 3．二次根式的除法 ...................................................................... 7 §22.3 二次根式的加减法 ................................................................... 9 小结 ..................................................................................................... 12 复习题 ................................................................................................. 12
第22章 二次根式
人造地球卫星要冲出地球，围绕地球运行，发射时必须达到一定的速度，这个速度称为第一宇宙速度．计算第一宇宙速度的公式是
??gR，
其中g为重力加速度，R为地球半径．
§22.1 二次根式
在第12章我们学习了平方根和算术平方根的意义，引进了一个记号a．
回顾
当a是正数时，a表示a的算术平方根，即正数a的正的平方根． 当a是零时，a等于0，它表示零的平方根，也叫做零的算术平方根． 当a是负数时，a没有意义．
概括
a（a≥0）表示非负数a的算术平方根，也就是说，a（a≥0）是一个非负数，它的平
方等于a．即有： （1）a≥0（a≥0）； （2）(a)2=a（a≥0）．
形如a（a≥0）的式子叫做二次根式．
注意
在二次根式a中，字母a必须满足a≥0，即被开方数必须是非负数．
例 分析 解
x是怎样的实数时，二次根式x?1有意义？
要使二次根式有意义，必须且只须被开方数是非负数． 被开方数x-1≥0，即x≥1．
所以，当x≥1时，二次根式x?1有意义．
思考
a2等于什么？
我们不妨取a的一些值，如2，-2，3，-3，……分别计算对应的a2的值，看看有什么规律：
22=4=2；
(?2)2=4=2；
32=9=3；
(?3)2=9=3；
……
概括
当a≥0时，a2?a； 当a＜0时，a2??a．
这是二次根式的又一重要性质．如果二次根式的被开方数是一个完全平方，运用这个性质，可以将它“开方”出来，从而达到化简的目的．例如：
4x2?(2x)2=2x（x≥0）；
x4?(x2)2?x2．
练习
1．计算：
（1）(8)2；（2）(9)2；（3）81；（4）100． 2．x是怎样的实数时，下列二次根式有意义？ （1）x?3；（2）2x?5；（3）
51；（4）．
1?xx3．(a)2与a2是一样的吗？说说你的理由，并与同学交流．
习题22.1
1．x是怎样的实数时，下列二次根式有意义？ （1）x?1；（2）3x?2；（3）2．计算： （1）(7)2；（2）(31；（4）． 2x?13?2x224（3）；（4）9a4． )；3923．已知2＜x＜3，化简：(x?2)?x?3． 4．边长为a的正方形桌面，正中间有一个边长为
a的正方形方孔．若沿图中虚线锯开，可3以拼成一个新的正方形桌面．你会拼吗？试求出新的正方形边长．
（第4题）
阅读材料
蚂蚁和大象一样重吗
同学们一定听过蚂蚁和大象进行举重比赛的故事吧！蚂蚁能举起比它的体重重许多倍的火柴棒，而大象举起的却是比自己体重轻许多倍的一截圆木，结果蚂蚁获得了举重冠军！
我们这里谈论的话题是： 蚂蚁和大象一样重吗？我们知道，即使是最大的蚂蚁与最小的大象，它们的重量明显不是一个数量级的．但是下面的“推导”却会让你大吃一惊： 蚂蚁和大象一样重！
设蚂蚁重量为x克，大象的重量为y克，它们的重量和为2a克，即
x+y=2a．
两边同乘以（x-y），得
(x+y)(x-y)=2a(x-y)． 即
2
x2?y2?2ax?2ay． x2?2ax?y2?2ay． (x?a)2?(y?a)2．
(x?a)2?(y?a)2，
可变形为
两边都加上a，得 于是 可得 所以
x?a?y?a， x?y．
这里竟然得出了蚂蚁和大象一样重的结论，岂不荒唐！那么毛病究竟出在哪里呢？亲爱的同学，你能找出来吗？
§22.2 二次根式的乘除法
1．二次根式的乘法
计算：
（1）4?25与4?25； （2）16?9与16?9．
思考
对于2?3与2?3呢？ 从计算的结果我们发现，
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