[考研类试卷]考研数学二（线性代数）历年真题试卷汇编10
一、选择题
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1 (10)设A为4阶实对称矩阵，且A2+A=O．若A的秩为3，则A相似于
2 (13)矩阵
（A）a=0，b=2．
（B）a=0，b为任意常数．
（C）a=2，b=0．
（D）a=2，b为任意常数．
相似的充分必要条件为
3 (16)设A，B是可逆矩阵．且A与B相似，则下列结论错误的是
（A）AT与BT相似．
（B）A-1与B-1相似．
（C）A+AT与B+BT相似．
（D）A+A-1与B+B-1相似．
答案见麦多课文库
4 (17)已知矩阵A=
，则
（A）A与C相似，B与C相似．
（B）A与C相似，B与C不相似．
（C）A与C不相似，B与C相似，
（D）A与C不相似，B与C不相似．
5 (18)下列矩阵中，与矩阵相似的为
6 (07)设矩阵A=，则A与B
（A）合同，且相似．
（B）合同，但不相似．
（C）不合同，但相似．
（D）既不合同，也不相似．
答案见麦多课文库
7 (08)设A=则在实数域上与A合同的矩阵为
8 (15)设二次型f(x1，x2，x3)在正交变换x=Py下的标准形为2y12+y22-y32，其中P=(e1，e2，e3)．若Q=(e1，-e3，e2)，则f(x1，x2，x3)在正交变换x=Qy下的标准形为
（A）2y12-y22+y32．
（B）2y12+y22-y32．
（C）2y12-y22-y32．
（D）2y12+y22+y32．
9 (16)设二次型f(x1，x2，x3)=a(x12+x22+x32)+2x1x2+2x2x3+2x1x3的正、负惯性指数分别为l，2，则
（A）a＞1
（B）a＜-2
（C）-2＜a＜1
（D）a=1或a=-2
二、填空题
10 (08)设3阶矩阵A的特征值为2，3，λ，若行列式｜2A｜=-48，则λ=_______．
11 (09)设α，β为3维列向量，βT为β的转置．若矩阵αβT相似于βTα=_______．
，则
答案见麦多课文库
12 (15)设3阶矩阵A的特征值为2，-2，1，B=A2-A+E，其中E为3阶单位矩阵．则行列式｜B｜=_______．
13 (17)A=的一个特征向量为，则a=______．
14 (18)设A为3阶矩阵，α1，α2，α3为线性无关的向量组．若Aα1=2α1+α2+α3，Aα2=α2+2α3，Aα3=-α2+α3，则A的实特征值为_______．
15 (11)二次型f(x1，x2，x3)=x12+3x22+x32+2x1x2+2x1x3+2x2x3，则f的正惯性指数为_________.
16 (14)设二次型f(x1，x2，x3)=x12-x22+2ax1x3+4x2x3的负惯性指数为1，则a的取值范围是______．
三、解答题
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17 (08)设A为3阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值-1，1的特征向量，向量α3满足Aα3=α2+α3． (Ⅰ)证明α1，α2，α3线性无关； (Ⅱ)令P=[α1，α2，α3]，求P-1
AP．
18 (10)设A=为
，正交矩阵Q使得QTAQ为对角矩阵．若Q的第1列
(1，2，1)T，求a，Q．
19 (11)设A为3阶实对称矩阵，A的秩为2，且所有特征值与特征向量．(Ⅱ)求矩阵A．
(Ⅰ)求A的
答案见麦多课文库
20 (14)证明n阶矩阵
相似．
21 (15)设矩阵A=
相似于矩阵B=(Ⅰ)求a，b的值；
(Ⅱ)求可逆矩阵P，使P-1AP为对角矩阵．
22 (16)已知矩阵A=
(Ⅰ)求A99；(Ⅱ)设3阶矩阵B=(a1，a2，a3)满足
B2=BA，记B100=(β1，β2，β3)，将β1，β2，β3分别表示为α1，α2，α3的线性组合．
23 (09)设二次型 f(x1，x2，x3)=ax12+ax22+(a-1)x32+2x1x3-2x2x3． (Ⅰ)求二次型f的矩阵的所有特征值； (Ⅱ)若二次型f的规范形为y12+y22，求a的值．
24 (12)已经知A=
，二次型f(x1，x2，x3)=xT(ATA)x的秩为2．(Ⅰ)求
实数a的值；(Ⅱ)求正交变换x=QY将f化为标准形．
25 (13)设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记
(Ⅰ)证明二次型f对应的矩阵为2ααT+ββT．(Ⅱ)若α，β正交
且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22.
26 (17)设二次型f(x1，x2，x3)=2x12-x22+ax32+2x1x2-8x1x3+2x1x3在正交变换x=Qy下的标准形为λ1y12+λ2y22，求a的值及一个正交矩阵Q．
27 (18)设实二次型f(x1，x2，x3)=(x1-x3+x3)2+(x2+x3)2+(x1+ax3)2，其中a是参数． (1)求f(x1，x2，x3)=0的解； (2)求f(x1，x2，x3)的规范形．
答案见麦多课文库
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