历年(95-10)年全国初中数学竞赛(联赛)分类题型详解-几何(3)
计算题(9道题)
1、如图，在等腰三角形ABC中，AB=1，∠A=900，点E为腰AC中点，点F在底边BC上，且FE⊥BE，求△CEF的面积。
AEB
1998年全国数学联赛试卷
FC
解法1 过C作CD⊥CE与EF的延长线交于D，
∵∠ABE+∠AEB=90°， ∠CED+∠AEB=90°， ∴∠ABE=∠CED．
于是Rt△ABE∽△CED，
又∠ECF=∠DCF=45°，所以，CF是∠DCE的平分线，点F到CE和CD的距离相等．
解法2 作FH⊥CE于H，设FH=h．
∵∠ABE+∠AEB=90°， ∠FEH+∠AEB=90°， ∴∠ABE=∠FEH．
∴Rt△EHF∽Rt△BAE．
即EH=2h，
又∵HC=FH，
2．如图，已知四边形ABCD内接于直径为3的圆O，对角线AC是直径，对角线AC和BD的交点是P，AB=BD，且PC=0.6，求四边形ABCD的周长．
1999年全国初中数学竞赛
解：设圆心为O，连接BO并延长交AD于H．
∵AB=BD，O是圆心， ∴BH⊥AD． 又∵∠ADC=90°， ∴BH∥CD．
从而△OPB∽△CPD．
，
∴CD=1．
于是AD= 又OH= AB= BC=
所以，四边形ABCD的周长为
CD=
，于是
， ．
．
．
3、如图：已知四边形ABCD外接圆O的半径为2，对角线AC与BD的交点为E，AE＝EC，AB＝2AE，且BD＝23，求四边形ABCD的面积。
2000全国初中数学竞赛试题 解：由题设得AB2＝2AE2＝AE·AC，∴AB:AC＝AE:AB，又∠EAB＝∠BAC，
∴△ABE∽△ACB，∴∠ABE＝∠ACB，从而AB＝AD。连结AD，交BD于H，则BH＝HD＝3。
∴OH＝＝1，AH＝OA－OH＝2－1＝1。
∴
，
，∵E是AC的中点，∴
，∴
，∴
4．如图所示，⊙O的直径的长是关于x的二次方程x2?2(k?2)x?k?0（k是整数）的最大整数根. P是⊙O外一点，过点P作⊙O的切线PA和割线PBC，其中A为切点，点B，C是直线PBC与⊙O的交点.若PA，PB，PC的长都是正整数，且PB的长不是合数，求
PA2?PB2?PC2的值.
A O P B C
2003年“TRULY?信利杯”全国初中数学竞赛试题
解：设方程x2?2(k?2)x?k?0的两个根
为x1，x2，x1≤x2.由根与系数的关系得
x1?x2?4?2k， ①
x1x2?k. ②
A O P B C
由题设及①知，x1，x2都是整数. 从①，②消去k，得
2x1x2?x1?x2?4， (2x1?1)(2x2?1)?9.
由上式知，x2?4，且当k=0时，x2?4，故最大的整数根为4. 于是⊙O的直径为4，所以BC≤4.
因为BC=PC－PB为正整数，所以BC=1，2，3或4. ……（6分） 连结AB，AC，因为∠PAB=∠PCA，所以PAB∽△PCA，
PAPC?。 PBPA故 PA2?PB(PB?BC) ③ ……（10分） （1）当BC=1时，由③得，PA2?PB2?PB，于是
PB2?PA2?(PB?1)2，矛盾！
（2）当BC=2时，由③得，PA2?PB2?2PB，于是
PB2?PA2?(PB?1)2，矛盾！
（3）当BC=3时，由③得，PA2?PB2?3PB，于是
(PA?PB)(PA?PB)?3PB，
由于PB不是合数，结合PA?PB?PA?PB，故只可能
?PA?PB?1,?PA?PB?3,?PA?PB?PB, ????PA?PB?3PB,?PA?PB?PB,?PA?PB?3,?PA?2,解得 ?
PB?1.?此时 PA2?PB2?PC2?21.
（4）当BC=4，由③得，PA2?PB2?4PB，于是
(PB?1)2?PB2?4PB?PA2?(PB?2)2，矛盾.
综上所述
PA2?PB2?PC2?21
5．D是△ABC的边AB上的一点，使得AB=3AD，P是△ABC外接圆上一点，使得
?ADP??ACB，求
PB的值. PD 2004年“TRULY?信利杯”全国初中数学竞赛试题
解：连结AP，则?APB??ACB??ADP， 所以，△APB∽△ADP ∴
ABAP?， APAD
历年(95-10)全国初中数学竞赛（联赛）分类题型详解-几何(3)
