2020年高考数学 考点9 正弦定理和余弦定理

考点9 正弦定理和余弦定理

1.（2020·天津高考理科·Ｔ7）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若a?b?3bc，

22sinC?23sinB，则A= ( )

（A）30 （B）60 （C）120 （D）150

【命题立意】考查三角形的有关性质、正弦定理、余弦定理以及分析问题、解决问题的能力。 【思路点拨】根据正、余弦定理将边角互化。

【规范解答】选A，根据正弦定理及sinC?23sinB得：c?23b

0000b2?c2?a2c2?(a2?c2)c2?3bc3QcosA????，

2bc2bc2bc2Q00A?1800,?A?300。

【方法技巧】根据所给边角关系，选择使用正弦定理或余弦定理，将三角形的边转化为角。 2.（2020·北京高考文科·Ｔ7）某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1， 顶角为?的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为( ) （A）2sin??2cos??2； （B）sin??3cos??3

（C）3sin??3cos??1 （D）2sin??cos??1

【命题立意】本题考查解三角形的相关知识，用到了面积公式、余弦定理等知识。

【思路点拨】在等腰三角形中利用余弦定理求出底边，从而班徽的面积等于四个等腰三角形的面积与正方形的面积之和。

【规范解答】选A。等腰三角形的底边长为12?12?2?1?1?cos??2?2cos?。所以班徽的面积为14??1?1?sin??(2?2cos?)2?2sin??2?2cos?。

2

3.（2020·湖南高考理科·Ｔ4）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a,b,c，若∠C=120°，c?则（ ）

A、a>b B、a

【命题立意】以三角形为依托，以余弦定理为明线，以方程的解为暗线考查学生的运用知识和等价转化的

2a,

能力。

【思路点拨】由余弦定理得到边的二元等量关系，然后从方程的角度消元求解.

bb【规范解答】选A.∵∠C=120°，c?2a，∴2a2=a2+b2-2abcos120°，∴a2=b2+ab，∴（）2+a-1=0，

a5?1b∴= <1，∴b

2a【方法技巧】三角形是最简单的平面图形，是中学数学所学知识最多的图形，在高考中是重点.常常考查边角关系，余弦定理和正弦定理，常常结合不等式和方程来解.尤其是均值不等式的考查. 4.（2020·北京高考理科·Ｔ１0）在△ABC中，若b = 1，c =3，?C?【命题立意】本题考查解三角形中的余弦定理。

【思路点拨】对?C利用余弦定理，通过解方程可解出a。 【规范解答】由余弦定理得，a2?12?2?a?1?cos2?，则a= 。 32?。 ?3，即a2?a?2?0，解得a?1或?2（舍）

3B32?3C【答案】1

1A

【方法技巧】已知两边及一角求另一边时，用余弦定理比较好。

5.（2020·广东高考理科·Ｔ11）已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边，若a=1,b=3, A+C=2B,则sinC= .

【命题立意】本题考察正弦定理在解三角形中的应用.

【思路点拨】由已知条件求出B、A的大小，求出C，从而求出sinC. 【规范解答】由A+C=2B及A?B?C?180得B?60，由正弦定理得

oo131?得，由sinA?sinAsin60o2a?b知A?B?60o，所以A?30o，C?180o?A?B

?90o，所以sinC?sin90o?1.

【答案】1

6.（2020·山东高考理科·Ｔ15）在?ABC中，角A,B,C所对的边分别为a，b，c，若a?2，b?2，

sinB?cosB?2，则角A的大小为 ．

【命题立意】本题考查了三角恒等变换、已知三角函数值求解以及正弦定理，考查了考生的推理论证能

力和运算求解能力。

【思路点拨】先根据sinB?cosB? 【规范解答】由sinB?cosB?2求出B，再利用正弦定理求出sinA，最后求出A.

2得1?2sinBcosB?2，即sin2B?1，因为0

221=，解得，又a

oo所以A

? 6ba??6cosC，ab7.（2020·江苏高考·Ｔ１3）在锐角三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若则

tanCtanC的值是_________。 ?tanAtanBbatanCtanC采用弦化切并结合正弦定理解决. ??6cosC采用角化边，对?abtanAtanB【命题立意】考查三角形中的正、余弦定理以及三角函数知识的应用，等价转化思想。 【思路点拨】对条件

a2?b2?c23c2ba222222?a?b,a?b?【规范解答】??6cosC?6abcosC?a?b，6ab?

2ab2abtanCtanCsinCcosBsinA?sinBcosAsinCsin(A?B)1sin2C???????由正弦定理，tanAtanBcosCsinAsinBcosCsinAsinBcosCsinAsinB1c2c2c2????4 得：上式?21cosCab(a2?b2)1?3c662【方法技巧】上述解法采用了解决三角形问题的通性通法，即利用正弦定理和余弦定理灵活实现边角互化。本题若考虑到已知条件和所求结论对于角A、B和边a、b具有轮换性，可采用以下方法解决：当A=B或a=b时满足题意，此时有：cosC?C211?cosC12C，tan， ??，tan?22321?cosC2tanA?tanB?1tanC2?2，

tanCtanC?= 4。 tanAtanB【答案】4

8.（2020·辽宁高考文科·Ｔ17）在△ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC. (Ⅰ)求A的大小；

（Ⅱ）若sinB +sinC=1,试判断△ABC的形状.

【命题立意】本题考查了正弦定理，考查了余弦定理和运算求解能力。

【思路点拨】(I)根据正统定理将已知条件中角的正弦化成边，得到边的关系，再由余弦定理求角

(II)利用（I）的结论，求出角B （或角C），判断三角形的形状

【规范解答】

解：(I)由已知，根据正弦定理得：2a2?(2b?c)?(2c?b)c即a2?b2?c2?bc,由余弦定理 a2?b2?c2?2bccosA1故 cosA??,又A?（0，?）22?? A＝3(II)由（I）中a2?b2?c2?bc及正弦定理可得：sin2A?sin2B?sin2C?sinBsinC即：（32）＝sin2B?sin2C?sinBsinC21又sinB+sinC=1 得sinB=sinC=2Q 0

【方法技巧】利用正弦定理，实现角的正弦化为边时只能是用a替换sinA，用b替换sinB,用c替换 sinC。sinA,sinB,sinC的次数要相等，各项要同时替换，反之，用角的正弦替换边时也要这样，不能 只替换一部分。

(2)以三角形为背景的题目，要注意三角形的内角和定理的使用。象本例中B+C＝60°

9.（2020·浙江高考文科·Ｔ18）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,设S为△ABC的面积，满足S?32(a?b2?c2)。 4（Ⅰ）求角C的大小；

（Ⅱ）求sinA?sinB的最大值。

【命题立意】解析本题主要余弦定理、三角形面积公式、三角变换等基础知识，同时考查三角运算求解能力。

【思路点拨】利用面积公式求角C，然后利用三角形的内角和定理及两角和的正弦公式化简求最值。 【规范解答】(Ⅰ)由题意可知

31π?2abcosC. 所以tanC＝3.因为0

2π-A) 3 ＝sinA+31π2cosA+sinA＝3sin(A+)≤3.(0?A??) 2326?，即△ABC为正三角形时取等号，所以sinA+sinB的最大值是3. 32??【方法技巧】求sinA?sinB时利用A?B?转化为关于角A的三角函数y?3sin(A?)的最值问

36当A＝题。

10.（2020·辽宁高考理科·Ｔ17）在△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边， 且2asinA?(2a?c)sinB?(2c?b)sinC. （Ⅰ）求A的大小；

（Ⅱ）求sinB?sinC的最大值.

【命题立意】考查了正弦定理，余弦定理，考查了三角函数的恒等变换，三角函数的最值。 【思路点拨】（I）根据正统定理将已知条件中角的正弦化成边，得到边的关系，再由余弦定理求角

（II）由（I）知角C＝60°-B代入sinB+sinC中，看作关于角B的函数，进而求出最值

【规范解答】（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得2a?(2b?c)b?(2c?b)c

即a?b?c?bc

由余弦定理得a?b?c?2bccosA 故 cosA??22222221，A=120° 2（Ⅱ）由（Ⅰ）得：

sinB?sinC?sinB?sin(60??B)

31cosB?sinB 22?sin(60??B)?故当B＝30°时，sinB+sinC取得最大值1。 【方法技巧】

(1)利用正弦定理，实现角的正弦化为边时只能是用a替换sinA，用b替换sinB,用c替换sinC。

sinA,sinB,sinC的次数要相等，各项要同时替换，反之，用角的正弦替换边时也要这样，不能只替换一部分。

(2)以三角形为背景的题目，要注意三角形的内角和定理的使用。象本例中B+C＝60°

11.（2020·浙江高考理科·Ｔ18）在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c，已知cos2C?? (I)求sinC的值；

(Ⅱ)当a=2， 2sinA=sinC时，求b及c的长．

1 4 【命题立意】本题主要考察三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力。 【思路点拨】利用二倍角余弦公式求sinC的值。再利用正弦定理求c，利用余弦定理求b。 【规范解答】（Ⅰ）因为cos2C=1-2sinC=?2

101，及0＜C＜π所以sinC=.

4（Ⅱ）当a=2，2sinA=sinC时，由正弦定理

acsinA?sinC，得c=4 由cos2C=2cos2C-1=?14，及0＜C＜π得cosC=±64 由余弦定理c2

=a2

+b2

-2abcosC，b2

±6b-12=0，解得 b=6或26

所以???b?6或???b?26。 ??c?4??c?44