§8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系
考纲解读
考点 内容解读 要求 高考示例 2016浙江,2; 常考题型 预测热度 理解空间直线、平面位置关系的定义,并了解如下可以作1.点、线、面 ·公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条的位置关系 直线上所有的点都在此平面内. ·公理2:过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面. ·公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 2.异面直线 所成的角 ·公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行. ·定理:空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补 为推理依据的公理和定理. 理解 2015广东,8; 2014广东,7; 2013课标全国Ⅱ,4; 2013江西,8 2017课标全国Ⅱ,10; 2017课标全国Ⅲ,16; 选择题 掌握 2016课标全国Ⅰ,11; 填空题 2015四川,14; 2015广东,18 ★★★ 选择题 ★★☆
分析解读 1.会用平面的基本性质证明点共线、线共点、点线共面问题;会用反证法证明有关异面或共面问题.2.会判定和证明两条直线异面;会应用三线平行公理和等角定理及推论解决有关问题,会求两条异面直线所成的角;了解两条异面直线间的距离.3.高考对本节内容的考查常以棱柱、棱锥为依托,求异面直线所成的角,分值约为5分,属中档题.
五年高考
考点一 点、线、面的位置关系
1.(2016浙江,2,5分)已知互相垂直的平面α,β交于直线l.若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则( ) A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n
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1
答案 C
2.(2015广东,8,5分)若空间中n个不同的点两两距离都相等,则正整数n的取值( ) A.至多等于3
B.至多等于4
C.等于5 D.大于5 答案 B
3.(2015福建,7,5分)若l,m是两条不同的直线,m垂直于平面α,则“l⊥m”是“l∥α”的( ) A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 B
4.(2013江西,8,5分)如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB∥CD,正方体的六个面所在的平面与直线CE,EF相交的平面个数分别记为m,n,那么m+n=( )
A.8
B.9
C.10
D.11
答案 A
教师用书专用(5—8)
5.(2014广东,7,5分)若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是( ) A.l1⊥l4 B.l1∥l4
C.l1与l4既不垂直也不平行
D.l1与l4的位置关系不确定
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2
答案 D
6.(2013课标全国Ⅱ,4,5分)已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.直线l满足l⊥m,l⊥n,l?α,l?β,则( ) A.α∥β且l∥α B.α⊥β且l⊥β
C.α与β相交,且交线垂直于l D.α与β相交,且交线平行于l 答案 D
7.(2013安徽,3,5分)在下列命题中,不是公理的是( ) ．．A.平行于同一个平面的两个平面相互平行 B.过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面
C.如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内 D.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 答案 A
8.(2013浙江,10,5分)在空间中,过点A作平面π的垂线,垂足为B,记B=fπ(A).设α,β是两个不同的平面,对空间任意一点P,Q1=fβ[fα(P)],Q2=fα[fβ(P)],恒有PQ1=PQ2,则( ) A.平面α与平面β垂直
B.平面α与平面β所成的(锐)二面角为45° C.平面α与平面β平行
D.平面α与平面β所成的(锐)二面角为60° 答案 A
考点二 异面直线所成的角
1.(2017课标全国Ⅱ,10,5分)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为( ) A.
B.
C.
D.
答案 C
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3
2.(2016课标全国Ⅰ,11,5分)平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为( ) A.
B.
C.
D.
答案 A
3.(2017课标全国Ⅲ,16,5分)a,b为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a,b都垂直,斜边AB以直线AC为旋转轴旋转,有下列结论: ①当直线AB与a成60°角时,AB与b成30°角; ②当直线AB与a成60°角时,AB与b成60°角; ③直线AB与a所成角的最小值为45°; ④直线AB与a所成角的最大值为60°.
其中正确的是 .(填写所有正确结论的编号) 答案 ②③
4.(2015四川,14,5分)如图,四边形ABCD和ADPQ均为正方形,它们所在的平面互相垂直,动点M在线段PQ上,E,F分别为AB,BC的中点.设异面直线EM与AF所成的角为θ,则cos θ的最大值为 .
答案
教师用书专用(5)
5.(2015广东,18,14分)如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3.点E是CD边的中点,点F,G分别在线段AB,BC上,且AF=2FB,CG=2GB. (1)证明:PE⊥FG;
(2)求二面角P-AD-C的正切值;
(3)求直线PA与直线FG所成角的余弦值.
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4
解析 (1)证明:因为PD=PC,点E为DC中点, 所以PE⊥DC.
又因为平面PDC⊥平面ABCD,交线为DC, 所以PE⊥平面ABCD.
又FG?平面ABCD,所以PE⊥FG. (2)由(1)可知,PE⊥AD.
因为四边形ABCD为长方形,所以AD⊥DC. 又因为PE∩DC=E, 所以AD⊥平面PDC.
而PD?平面PDC,所以AD⊥PD.
由二面角的平面角的定义,可知∠PDC为二面角P-AD-C的一个平面角. 在Rt△PDE中,PE==, 所以tan∠PDC==.
从而二面角P-AD-C的正切值为. (3)连接AC.因为==, 所以FG∥AC. 易求得AC=3,PA==5.
所以直线PA与直线FG所成角等于直线PA与直线AC所成角,即∠PAC, 在△PAC中,cos∠PAC==.
所以直线PA与直线FG所成角的余弦值为.
三年模拟
A组 2016—2018年模拟·基础题组
考点一 点、线、面的位置关系
1.(2018四川泸州模拟,6)设a,b是空间中不同的直线,α,β是不同的平面,则下列说法正确的是(实用文档
5
)
课标A版--高考数学一轮复习---§8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系--(附答案)
