专题训练(六)__“三线合一”好解题
? 类型之一 证明线段相等
1．已知：如图6－ZT－1所示，在等边三角形ABC的AC边上取中点D，BC的延长线上取一点E，使CE＝CD.求证：BD＝DE.
图6－ZT－1
[解析] 欲证BD＝DE，只需证∠DBE＝∠E.根据等腰三角形的“三线合一”和等边三角1
形的性质可得∠DBE＝∠ABC＝30°.再根据三角形的外角性质和等边三角形的性质可得∠E
2＝30°.由此可得结论．
证明：∵△ABC为等边三角形，BD是AC边上的中线，∴BD⊥AC，BD平分∠ABC，1
∴∠DBE＝∠ABC＝30°.(等腰三角形的“三线合一”)
2
∵CD＝CE，∴∠CDE＝∠E.
∵∠ACB为△CDE的外角，∠ACB＝60°， ∴∠CDE＋∠E＝60°. ∴∠CDE＝∠E＝30°. 又∵∠DBE＝30°， ∴BD＝DE.(等角对等边)
2．如图6－ZT－2所示，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，BD＝CE. 求证：AD＝AE.
图6－ZT－2
[解析] 本题可通过全等三角形来证线段相等．在△ABD和△ACE中，已知AB＝AC，BD＝EC且∠B＝∠C，由此可证得两三角形全等，即可得出AD＝AE的结论．也可根据等腰三角形三线合一来证明．
证明：过点A作AF⊥BC于点F.
图ZT－6－1
∵AB＝AC，AF⊥BC，
∴BF＝CF.(等腰三角形底边上的高是底边上的中线) 又∵BD＝CE，
∴BF－BD＝CF－CE，即DF＝EF， ∴AF是DE的垂直平分线，∴AD＝AE. ? 类型之二 证明两线垂直
3．如图6－ZT－3所示，在△ABC中，AB＝AC，∠ABD＝∠ACD，求证：AD⊥BC.
图6－ZT－3
[解析] 首先证明∠DBC＝∠DCB，可得DB＝DC，再加上条件AB＝AC，公共边AD＝AD，可利用SSS证明△ABD≌△ACD，进而得到∠BAD＝∠CAD，再根据等腰三角形顶角的平分线与底边上的高线重合可证出AD⊥BC.本题通过证明AD是BC的垂直平分线也可得证，如下面的证法．
证明：延长AD交BC于点M，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.又∵∠ABD＝∠ACD，∴∠ABC－∠ABD＝∠ACB－∠ACD，即∠DBC＝∠DCB，∴DB＝DC.∵AB＝AC，DB＝DC，∴AD是线段BC的垂直平分线，∴AD⊥BC.
图ZT－6－2
1
4．如图6－ZT－4，在△ABC中，AB＝AC，D为AC上一点，∠DBC＝∠BAC.求证：
2AC⊥BD.
图6－ZT－4
[解析] 首先过点A作AE⊥BC交BC于点E，交BD于点F.由AB＝AC，根据等腰三11
角形“三线合一”的性质，可得∠CAE＝∠BAC，又由∠DBC＝∠BAC，在△ADF与△BEF
22中，易证得∠ADF＝∠BEF＝90°，即可得AC⊥BD.
证明：如图ZT－6－3，过点A作AE⊥BC于点E，交BD于点F.
图ZT－6－3
∵AB＝AC，AE⊥BC，
1
∴∠CAE＝∠BAC.(等腰三角形的“三线合一”)
21
又∵∠DBC＝∠BAC，
2
∴∠CAE＝∠DBC.
∵∠1＝∠2，∠ADF＝180°－∠2－∠CAE，∠BEF＝180°－∠1－∠DBC， ∴∠ADF＝∠BEF.
∵AE⊥BC，∴∠BEF＝90°. ∴∠ADF＝90°.∴BD⊥AC.
? 类型之三 证明角的倍分关系
5．已知：如图6－ZT－5所示，AF平分∠BAC，BC⊥AF，垂足为E，AE＝ED，PB分别与线段CF，AF相交于点P，M，∠F＝∠MCD.求证：∠BAC＝2∠MPC.
(完整)数学北师大版八年级下册三线合一
