8．从5名学生中任选3人分别担任语文、数学、英语课代表，其中学生甲不能担任数学课代表，共有 48 种不同的选法（结果用数值表示）． 【考点】排列、组合的实际应用．
【分析】根据分步计数原理，先安排数学课代表，再安排语文、英语课代表．
【解答】解：先从除了甲之外的4人选1人为数学课代表，再从包含甲在内的4人中选2人为语文、英语课代表，根据分步计数原理可得，共有A41A42=48种， 故学生甲不能担任数学课代表，共有48种不同的选法． 故答案为48． 9．方程x2+y2﹣4tx﹣2ty+3t2﹣4=0（t为参数）所表示的圆的圆心轨迹方程是 x﹣2y=0 （结果化为普通方程） 【考点】轨迹方程．
【分析】把圆化为标准方程后得到：圆心坐标，令x=2t，y=t，消去t即可得到y与x的解析式．
【解答】解：把圆的方程化为标准方程得（x﹣2t）2+（y﹣t）2=t2+4，圆心（2t，t） 则圆心坐标为
，所以消去t可得x=2y，即x﹣2y=0．
故答案为：x﹣2y=0
10．若an是（2+x）n（n∈N*，n≥2，x∈R）展开式中x2项的二项式系数，则
= 2 ．
【考点】数列的极限；二项式定理的应用． 【分析】（2+x）n（其中n=2，3，4，…）的展开式，Tr+1，令r=2，可得an，再利用求和公式化简，利用数列的极限即可得出．
【解答】解：（2+x）n（其中n=2，3，4，…）的展开式，Tr+1=T3=2n﹣2
x2．
，令r=2，可得：
∴an是二项式（2+x）n（其中n=2，3，4，…）的展开式中x的二项式系数， ∴an=则
=2．
故答案为：2．
11．设数列{an}是集合{x|x=3s+3t，s＜t且s，t∈N}中所有的数从小到大排列成的数列，即a1=4，a2=10，a3=12，a4=28，a5=30，a6=36，…，将数列{an}中各项按照上小下大，左小右大的原则排成如图的等腰直角三角形数表，则a15的值为 324 ．
=
．
=
2
=
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【考点】归纳推理．
【分析】如果用（t，s）表示3s+3t，则4=（0，1）=30+31，10=（0，2）=30+32，12=（1，2）=31+32，…．利用归纳推理即可得出． 【解答】解：如果用（t，s）表示3s+3t， 则4=（0，1）=30+31， 10=（0，2）=30+32， 12=（1，2）=31+32， 28=（0，3）=30+33， 30=（1，3）=31+33， 36=（2，3）=32+33，…．
利用归纳推理即可得：a15=（4，5），则a15=34+35=324． 故答案为：324．
12．曲线C是平面内到直线l1：x=﹣1和直线l2：y=1的距离之积等于常数k2（k＞0）的点的轨迹，下列四个结论： ①曲线C过点（﹣1，1）；
②曲线C关于点（﹣1，1）成中心对称；
③若点P在曲线C上，点A、B分别在直线l1、l2上，则|PA|+|PB|不小于2k；
④设P0为曲线C上任意一点，则点P0关于直线l1：x=﹣1，点（﹣1，1）及直线f（x）对称的点分别为P1、P2、P3，则四边形P0P1P2P3的面积为定值4k2；其中， 所有正确结论的序号是 ②③④ ． 【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】由题意曲线C是平面内到直线l1：x=﹣1和直线l2：y=1的距离之积等于常数k2（k＞0）的点的轨迹．利用直接法，设动点坐标为（x，y），及可得到动点的轨迹方程，然后由方程特点即可加以判断．
y）【解答】解：由题意设动点坐标为（x，，则利用题意及点到直线间的距离公式的得：|x+1||y﹣1|=k2，
对于①，将（﹣1，1）代入验证，此方程不过此点，所以①错；
对于②，把方程中的x被﹣2﹣x代换，y被2﹣y 代换，方程不变，故此曲线关于（﹣1，1）对称．所以②正确；
对于③，由题意知点P在曲线C上，点A，B分别在直线l1，l2上，则|PA|≥|x+1|，|PB|≥|y﹣1|
=2k，所以③正确； ∴|PA|+|PB|≥2
对于④，由题意知点P在曲线C上，根据对称性，
则四边形P0P1P2P3的面积=2|x+1|×2|y﹣1|=4|x+1||y﹣1|=4k2．所以④正确． 故答案为：②③④．
二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
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13．给定空间中的直线l与平面α，则“直线l与平面α垂直”是“直线l垂直于平面α上无数条直线”的（ ）条件．
A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既不充分也不必要
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】根据充分必要条件的定义判断即可．
【解答】解：若：直线l与平面α垂直”，则“直线l垂直于平面α上无数条直线”，是充分条件；
若直线l垂直于平面α上无数条直线，则直线l与平面α不一定垂直，不是必要条件， 故选：A．
14．已知x、y∈R，且x＞y＞0，则（ ） A．
B．
C．log2x+log2y＞0 D．sinx﹣siny＞0 【考点】不等式比较大小．
【分析】根据不等式的性质判断A，根据特殊值，判断C，D，根据指数函数的性质判断B 【解答】解：因为x＞y＞0，所以＜，故A错误， 因为y=（）x为减函数，故B正确，
因为当1＞x＞y＞0时，log2x+log2y=log2xy＜0，故C错误， 因为当x=π，y=
时，sinx﹣siny＜0，故D错误，
故选：B．
15．某几何体的三视图如图所示，则它的体积为（ ）
A．8﹣ B．8﹣ C．8﹣2π D．
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，该几何体为正方体内挖去一个圆锥．
【解答】解：由题意可知，该几何体为正方体内挖去一个圆锥， 正方体的边长为2，圆锥的底面半径为1，高为2， 则正方体的体积为V1=23=8，圆锥的体积为V2=?π?12?2=
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，
则该几何体的体积为V=8﹣故选A．
16．已知函数f（x）=
，
（a＞0，且a≠1）在R上单调递减，且
关于x的方程|f（x）|=2﹣x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（ ） A．（0，] B．[，] C．[，]∪{}
D．[，）∪{}
【考点】分段函数的应用；根的存在性及根的个数判断．
【分析】利用函数是减函数，根据对数的图象和性质判断出a的大致范围，再根据f（x）为减函数，得到不等式组，利用函数的图象，方程的解的个数，推出a的范围． 【解答】解：y=loga（x+1）+1在[0，+∞）递减，则0＜a＜1， 函数f（x）在R上单调递减，则：
；
解得，；
由图象可知，在[0，+∞）上，|f（x）|=2﹣x有且仅有一个解， 故在（﹣∞，0）上，|f（x）|=2﹣x同样有且仅有一个解， 当3a＞2即a＞时，联立|x2+（4a﹣3）x+3a|=2﹣x， 则△=（4a﹣2）2﹣4（3a﹣2）=0， 解得a=或1（舍去），
当1≤3a≤2时，由图象可知，符合条件， 综上：a的取值范围为[，]∪{}， 故选：C．
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三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PB、PD与 平面ABCD所成的角依次是
和
，AP=2，E、F依次是PB、PC的中点；
（1）求异面直线EC与PD所成角的大小；（结果用反三角函数值表示） （2）求三棱锥P﹣AFD的体积．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角． 【分析】（1）分别以AB、AD、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．利用向量与所成角求得异面直线EC与PD所成角的大小； （2）直接利用VP﹣AFD=VP﹣ACD﹣VF﹣ADC求解． 【解答】解：（1）分别以AB、AD、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系． ∵AP=2，
，∠PDA=
，
∴AB=2，AD=4，则P（0，0，2），D（0，4，0），E（1，0，1），C（2，4，0），
，
．
∴cos＜＞===．
∴异面直线EC与PD所成角的大小为（2）VP﹣AFD=VP﹣ACD﹣VF﹣ACD=
；
=．
18．已知△ABC中，AC=1，
（1）求函数f（x）的解析式及定义域；
（2）试写出函数f（x）的单调递增区间，并求方程
的解．
，设∠BAC=x，记
；
【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】（1）由条件利用正弦定理、两个向量的数量积公式、三角恒等变换化简函数f（x）的解析式．
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上海市金山区2017年高考数学一模试卷(解析版)
