1.（2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ23）已知曲线C1的参数方程为
?x?4?5cost, （t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴??y?5?5sint,建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为??2sin?. （Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；
（Ⅰ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）。 【解析】将??x?4?5cost消去参数t，化为普通方程(x?4)2?(y?5)2?25,
?y?5?5sint即C1：x2?y2?8x?10y?16?0. 将??x??cos?代入x2?y2?8x?10y?16?0得
?y??sin??2?8?cos??10?sin??16?0.
（Ⅰ）C2的普通方程为x2?y2?2y?0.
22??x?1?x?0?x?y?8x?10y?16?0由?22，解得?或?. ??y?1?y?2?x?y?2y?0所以C1与C2交点的极坐标分别为(2,)，(2,)
42??2.（2013·新课标全国Ⅱ高考理科·Ｔ23）已知动点P，Q都在曲线C：??x?2cost ?t为参数? 上，对应参数分别为t=α
?y?2sint与t=2α（0＜α＜2π）,M为PQ的中点. （1）求M的轨迹的参数方程.
（2）将M到坐标原点的距离d表示为?的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点.
【解题指南】(1)借助中点坐标公式，用参数?表示出点M的坐标，可得参数方程.
(2)利用距离公式表示出点M到原点的距离d,判断d能否为0,可得M的轨迹是否过原点.
【解析】（1）依题意有P?2cos?,2sin??,Q?2cos2?,2sin2??,因此
M?cos??cos2?,sin??sin2??.
?x?cos??cos2???为参数，0???2??
y?sin??sin2??M的轨迹的参数方程为?（2）M点到坐标原点的距离
d?x2?y2?2?2cos?,?0???2??.
当???时，d?0，故M的轨迹过坐标原点.
11.（2012·新课标全国高考文科·Ｔ23）与（2012·新课标全国高考理科· Ｔ23）相同
?x?2cos?(?为参数)?x轴已知曲线C1的参数方程是?y?3sin?，以坐标原点为极点，
的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的极坐标方程是??2，正方形
ABCD的顶点都在C2上，且A,B,C,D依逆时针次序排列，点A的极坐
(2,)标为3.
?（1）求点A,B,C,D的直角坐标. （2）设P为C1上任意一点，求
PA?PB?PC?PD2222的取值范围.
【解题指南】（1）利用极坐标的定义求得A，B，C，D的坐标. （2）由C1方程的参数式表示出|PA|2+ |PB|2 + |PC|2+ |PD|2关于?的函数式，利用函数的知识求取值范围. 【解析】（1）由已知可得
??????????????A?2cos,2sin?,B?2cos???,2sin????33????32??32??，
???????????3?C?2cos????,2sin?????,D?2cos???3??3????32?A1,3,B?3,1,C?1,?3,D???3?,2sin?????32??????，
即
?????令
??3,?12?.
22(2)设
P?2cos?,3sin??,S?PA?PB?PC?PD2，则
S?16cos2??36sin2??16 ?32?20sin2?.
20?sin??1,所以S的取值范围是?32,52?. 因为
12.（2011·新课标全国高考理科·Ｔ23）在直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程为
?x?2cos?，
（?为参数），M是C1上的动点，P点满足OP?2OM,P点的轨迹为曲线?y?2?2sin??C2.
(Ⅰ)求C2的方程.
(Ⅱ)在以O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线??点为A，与C2的异于极点的交点为B，求AB.
?3与C1的异于极点的交
【思路点拨】第（Ⅰ）问，OP?2OM意味着Ｍ为O,P的中点，设出点P的坐标，可由点M的参数方程（曲线C1的方程）求得点P的参数方程；
第（Ⅱ）问，先求曲线C1和C2的极坐标方程，然后通过极坐标方程，求得射线?＝的交点A的极径?1，求得射线?＝
?3
与C1?3
与C2的交点B的极径?2，最后只需求｜AB｜＝
｜?2??1|即可.
【精讲精析】（I）设P(x,y),则由条件知M(
xy,).由于M点在C1上，所以 22?x?2cos?,??x?4cos?,?2 即 ? ?yy?4?4sin?,???2?2sin???2从而C2的参数方程为
?x?4cos?，
（?为参数）. ??y?4?4sin?（Ⅱ）曲线C1的极坐标方程为??4sin?，曲线C2的极坐标方程为??8sin?.
射线???3与C1的交点A的极径为?1?4sin?3，
射线???3与C2的交点B的极径为?2?8sin?3.
所以.
11.(2014·新课标全国卷Ⅱ高考文科数学·T23) (2014·新课标全国卷Ⅱ高考理科数学·T23)(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ,θ∈?0,
???
. ??2?
(1)求C的参数方程.
(2)设点D在C上,C在D处的切线与直线l:y=3x+2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D的坐标.
【解题提示】(1)先求出C的普通方程,然后再化为参数方程.
(2)利用C的参数方程设出点D的坐标,利用切线与直线l垂直,可得直线GD与直线l的斜率相同,求得点D的坐标.
【解析】（1）C的普通方程为?x?1??y?1 (0≤y≤1).
22可得C的参数方程为??x?1?cost (t为参数，0≤t≤π).
y?sint?（2）设D（1+cos t,sin t），由（1）知C是以G（1，0）为圆心，1为半径的上半圆.因为C在点D处的切线与l垂直，所以直线GD与l的斜率相同，tan t=3,t=
?. 3故D的直角坐标为?1?cos???3,sin??3?? ,即??33??2,2?? . ??10.选修4-4:坐标系与参数方程(2015·新课标全国卷Ⅱ理科·T23)
在直角坐标系xOy中,曲线C1:??x?tcos?,(t为参数,且t≠0),其中0≤α<π,在以O为极
?y?tsin?,
cos θ.
点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=2sin θ,C3:ρ=2(1)求C2与C3交点的直角坐标.
高中数学-4历年高考题全国卷含答案
