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2015年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题及答案解析
一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符
合题目要求的。）
(1)下列反常积分中收敛的是 (A) (C)
(B)
(D)
【答案】D。
【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。
；
；
；
， 因此(D)是收敛的。
综上所述，本题正确答案是D。
【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分
(2)函数
在(- ,+ )内 (A)连续 (B)有可去间断点
(C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点 【答案】B
【解析】这是“ ”型极限，直接有
,
在 处无定义，
所以 且 是 的可去间断点，选B。 综上所述，本题正确答案是B。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限
， (3)设函数 ( ).若 在 处连续，则
(A) (B) (C) (D)
【答案】A
【解析】易求出
，
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再有
不存在， ，
于是， 存在 ，此时 . 当 时， ，
= 不存在， ，
因此， 在 连续 。选A 综上所述，本题正确答案是C。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数连续的概念，函数的左极限和右极限 (4)设函数 在(- ,+ )内连续，其
二阶导函数 的图形如右图所示， 则曲线 的拐点个数为
(A) (B)
(C) (D) 【答案】C
A O B 【解析】 在(- ,+ )内连续，除点 外处处二阶可导。 的可疑拐点是 的
点及 不存在的点。 的零点有两个，如上图所示，A点两侧 恒正，对应的点不是 拐点，B点两侧 异号，对应的点就是 的拐点。 虽然 不存在，但点 两侧 异号，因而( ) 是 的拐点。 综上所述，本题正确答案是C。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数单调性，曲线的凹凸性和拐点
(5)设函数 满足 ，则
与
依次是
(A) (B)
(C) (D) 【答案】D
【解析】先求出 令
于是
因此
综上所述，本题正确答案是D。
【考点】高等数学-多元函数微分学-多元函数的偏导数和全微分
(6)设D是第一象限中由曲线 与直线 围成的平面区域，函数 在D上连续，则
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(A)
(B) (C) (D)
【答案】 B
【解析】D是第一象限中由曲线 与直线 围成的平面区域，作极坐标变换，将 化为累次积分。 D的极坐标表示为
，
，
因此
综上所述，本题正确答案是B。
【考点】高等数学—多元函数积分学—二重积分在直角坐标系和极坐标系下的计算。
(7)设矩阵A=
若集合 ，则线性方程 有无穷多解的充分必要条件为 ,b= 。 (A) (B)
(C) (D) 【答案】D
【解析】 有无穷多解
是一个范德蒙德行列式，值为 ,如果 ，则 ， ，此时 有唯一解，排除(A),(B) 类似的，若 ，则 ，排除(C)
当 时， ， 有无穷多解 综上所述，本题正确答案是D。
【考点】线性代数-线性方程组-范德蒙德行列式取值，矩阵的秩，线性方程组求解。 (8)设二次型 下的标准形为 ,其中 在正交变换 ,若Q= 在正交变换 下的标准形为
(A) (B) (C) (D) 【答案】A
【解析】设二次型矩阵为A,则
可见 都是A的特征向量，特征值依次为2,1,-1，于是- 也是A的特征向量，特征值为-1，因此
因此在正交变换 下的标准二次型为
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综上所述，本题正确答案是A。
【考点】线性代数-二次型-矩阵的秩和特征向量，正交变换化二次型为标准形。 二、填空题：( )小题，每小题4分，共24分。
(9)设 则 【答案】48
【解析】由参数式求导法
再由复合函数求导法则得
= ,
综上所述，本题正确答案是48。
【考点】高等数学-一元函数微分学-复合函数求导 (10)函数 在 处的n阶导数
【答案】
【解析】
解法1 用求函数乘积的 阶导数的莱布尼茨公式在此处键入公式。
其中 注意 ， ,于是
因此
解法2
利用泰勒展开
由于泰勒展开系数的唯一性，得
可得 综上所述，本题正确答案是
【考点】高等数学—一元函数微分学—高阶导数，泰勒展开公式
(11)设函数 连续， . 若 =1， 则
【答案】2
【解析】改写 由变限积分求导法得 ,
由 =1= ， 范文.范例.指导.参考
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可得
综上所述，本题正确答案是2
【考点】高等数学—一元函数积分学—变限积分函数的性质及应用 (12)设函数 是微分方程 的解，且在 处 取得极值3，则 =
【答案】
【解析】求 归结为求解二阶常系数齐次线性方程的初值问题
， 由特征方程 可得特征根 ， ，于
是得通解 又已知
， 综上所述，本题正确答案是
【考点】高等数学—常微分方程—二阶常系数齐次线性方程 (13)若函数 由方程 确定，则
【答案】 【解析】 先求 ，在原方程中令 得
方程两边同时求全微分得
令 得
综上所述，本题正确答案是 【考点】高等数学-多元函数微分学-隐函数的偏导数和全微分 (14)设3阶矩阵A的特征值为2,-2,1， , 其中E为3 阶单位矩阵，则行列式|B|= 【答案】 21
【解析】 A的特征值为2,-2,1,则B的特征值对应为3,7,1 所以|B|=21
【考点】线性代数—行列式—行列式计算
线性代数—矩阵—矩阵的特征值
三、解答题： 小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 (15)设函数 ,若 与 在 时是等价无穷小，求 的值。 【解析】利用泰勒公式
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2016考研数学二真题和答案及解析
