第1课时 古典概型的特征和概率计算公式
[核心必知]
1．古典概型
具有以下两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型(古典的概率模型)． (1)有限性：即试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果； (2)等可能性：即每一个试验结果出现的可能性相同． 2．古典概型概率公式
对于古典概型，通常试验中的某一事件A是由几个基本事件组成的.如果试验的所有可能结果(基本事件)数为n，随机事件A包含的基本事件数为m，那么事件A的概率规定为
P(A)＝
事件A包含的可能结果数m＝.
试验的所有可能结果数n[问题思考]
1．掷一枚骰子共有多少种不同的结果？ 提示：6种．
2．下列试验中，是古典概型的有( ) A．放飞一只信鸽观察其能否飞回
B．从规格直径为(250±0.6)mm的一批合格产品中任意取一件，测量其直径 C．抛掷一枚硬币，观察其出现正面或反面 D．某人射击中靶或不中靶
提示：只有选项C具有：(1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；(2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等．
讲一讲
1.下列试验中是古典概型的是( )
A．在适宜的条件下，种下一粒种子，观察它是否发芽
- 1 -
B．口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球 C．向正方形ABCD内随机抛掷一点，该点落在正方形内任意一点都是等可能的 D．在区间[0,6]上任取一点，求此点小于2的概率 [尝试解答]
选项 A B C D
[答案] B
判断一个试验是否为古典概型，关键是看该试验是否具有有限性和等可能性两个特征． 练一练
1．下列概率模型：
①在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点； ②某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环； ③某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人作演讲； ④一只使用中的灯泡寿命长短；
⑤中秋节前夕，某市工商部门调查辖区内某品牌的月饼质量，给该品牌月饼评“优”或“差”．
其中属于古典概型的有________．
解析：①不属于，原因：所有横坐标和纵坐标都是整数的点有无限多个，不满足有限性；②不属于，原因：命中0环，1环，…，10环的概率不一定相同，不满足等可能性；③属于，原因：显然满足有限性，且任选1人与学生的性别无关，是等可能的；④不属于，原因：灯泡的寿命是任何一个非负实数，有无限多种可能，不满足有限性；⑤不属于，原因：该品牌月饼评为“优”与评为“差”的概率不一定相同，不满足等可能性．
答案：③
讲一讲
2.先后抛掷两枚大小相同的骰子，求点数之和能被3整除的概率． [尝试解答] 先后抛掷两枚大小相同的骰子，结果如下： (1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)
- 2 -
分析 发芽与不发芽的概率不同 1摸到白球与黑球的概率都是 2基本事件有无限个 区间上有无穷多个点，不满足有限性 结果 不是 是 不是 不是 (2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6) (3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6) (4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6) (5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6) (6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6) 共有36种不同的结果．
记“点数之和能被3整除”为事件A，则事件A包含的基本事件共12个：(1,2)，(2,1)，(1,5)，121(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，(3,6)，(6,3)，(4,5)，(5,4)，(6,6)．故P(A)＝＝.
363
求解古典概型问题的一般步骤： (1)计算所有可能的基本事件数n； (2)计算事件A包含的基本事件数m； (3)计算事件A的概率
P(A)＝
事件A包含的基本事件数m＝. 试验的所有可能的基本事件数n运用公式的关键在于求出m、n.在求n时，必须确定所有可能的基本事件是等可能发生的． 练一练
2．袋中装有除颜色外其他均相同的6个球，其中4个白球、2个红球，从袋中任取两球，求下列事件的概率：
(1)A：取出的两球都是白球；
(2)B：取出的两球一个是白球，另一个是红球．
解：设4个白球的编号为1,2,3,4,2个红球的编号为5、6.从袋中的6个球中任取两球的取法有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15种取法，且每种取法都是等可能发生的．
(1)从袋中的6个球中任取两球，所取的两球全是白球的取法总数，即为从4个白球中任取两球的方法总数，共有6种，即为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)．
62
所以P(A)＝＝；
155
(2)从袋中的6个球中任取两球，其中一个是白球，另一个是红球的取法有(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，共8种．
8
所以P(B)＝.
15【解题高手】【易错题】
有1号、2号、3号3个信箱和A、B、C、D 4封信，若4封信可以任意投入信箱，投完为止，
- 3 -
其中A恰好投入1号或2号信箱的概率是多少？
[错解] 每封信投入1号信箱的机会均等，而且所有结果数为4，故A投入1号或2号信箱21
的概率为＝.
42
[错因] 应该考虑A投入各个信箱的概率，而不能考虑成四封信投入某一信箱的概率． [正解] 由于每封信可以任意投入信箱，对于A投入各个信箱的可能性是相等的，一共有32
种不同的结果，投入1号信箱或2号信箱有2种结果，所以所求概率为.
3
1．抛掷一枚均匀的正方体骰子，向上的点数是5或6的概率是( ) 111
A. B. C. D．1 632
m21解析：选B 掷一枚骰子出现向上的点数为1,2,3,4,5,6，共6种情况．P＝＝＝.
n63
2．有100张卡片(从1号到100号)，从中任取一张卡片，则取得的卡片是7的倍数的概率是( )
A.
37133 B. C. D. 205010025
解析：选B ∵n＝100，m＝14，
m147∴P＝＝＝.
n10050
3．一枚硬币连掷2次，恰好出现一次正面的概率是( ) 113
A. B. C. D．0 244
解析：选 A 列举出所有基本事件，找出“只有一次正面”包含的结果．一枚硬币连掷2次，基本事件有(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)共4个，而只有一次出现正面的包括(正，21反)，(反，正)2个，故其概率为＝.
42
4．下列试验是古典概型的为________．
①从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小 ②同时掷两颗骰子，点数和为7的概率 ③近三天中有一天降雨的概率
- 4 -
④10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率
解析：①②④是古典概型，因为符合古典概型的定义和特点． ③不是古典概型，因为不符合等可能性，受多方面因素影响． 答案：①②④
5．(重庆高考)若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为________． 解析：三人站成一排有：甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲，共6种排法，42其中甲、乙相邻有4种排法，所以甲、乙两人相邻而站的概率为＝.
63
2答案：
3
6．设有关于x的一元二次方程x＋2ax＋b＝0，若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，
2
2
b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
解：设事件A为“方程x＋2ax＋b＝0有实根”．
当a≥0，b≥0时，方程x＋2ax＋b＝0有实根意味着Δ＝(2a)－4b≥0，即a≥b. 基本事件有(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，共12个，其中第1个数表示a的取值，第2个数表示b的取值．而事件A包含993
个基本事件，故事件A发生的概率为P(A)＝＝.
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一、选择题
1．下面是古典概型的是( )
A．任意抛掷两粒骰子，所得的点数之和作为基本事件
B．为求任取一个正整数，该正整数平方值的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为基本事件
C．从甲地到乙地共有n条路线，求某人正好选中最短路线的概率 D．抛掷一枚均匀硬币至首次出现正面为止
解析：选C 对于A，所得点数之和为基本事件，个数虽有限但不是等可能发生的；对于B，D，基本事件的个数都是无限的；只有C是古典概型．
2．下列对古典概型的说法中正确的是( ) ①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个； ②每个事件出现的可能性相等； ③每个基本事件出现的可能性相等；
④基本事件总数为n，随机事件A若包含k个基本事件，则P(A)＝. A．②④ B．①③④ C．①④ D．③④
- 5 -
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kn
高中数学第3章概率2第1课时古典概型的特征和概率计算公式教学案北师大必修3
